物理

1.1坐标与坐标系(直角坐标系，极坐标系，柱坐标与球坐标)

我们都知道，坐标是用来表示点的位置的，那么为什么要发明坐标？空间中可以说有无数的质点组成的庞大运动体系，需要一种量化的工具去表示这样的每一个坐标与位置，而坐标这样一个清晰的工具，可以帮助我们研究和表示每一个质点的状态位置与运动方式。

1.1.1.常见的坐标系

(1)直角坐标系

常见的直角坐标系分为二维与三维

在直角坐标系下，质点的

位置矢量  $\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$。

速度：$\vec{v} = \dot{x}\vec{i} + \dot{y}\vec{j} + \dot{z}\vec{k}$

加速度：$\vec{a} = \ddot{x}\vec{i} + \ddot{y}\vec{j} + \ddot{z}\vec{k}$

微分算子$\nabla$的表示形式：$\nabla = \vec{i}\frac{\partial}{\partial x} + \vec{j}\frac{\partial}{\partial y} + \vec{k}\frac{\partial}{\partial z}$

Newton第二定律：

$F_x = m\ddot{x}$

$F_y = m\ddot{y}$

$F_z = m\ddot{z}$

(2)平面极坐标系

质点有

坐标变量为 $(r, \theta)$，基矢量为径向单位矢量$\vec{e}_r$和横向单位矢量 $\vec{e}_\theta$。矢量随时间变化：$\dot{\vec{e}}_r = \dot{\theta}\vec{e}_\theta$，$\dot{\vec{e}}_\theta = -\dot{\theta}\vec{e}_r$。

速度：$\vec{v} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta$

加速度：$\vec{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\vec{e}_r + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\vec{e}_\theta$

其中 $-r\dot{\theta}^2$ 为向心加速度项，$2\dot{r}\dot{\theta}$ 为科里奥利加速度项。

Newton第二定律：

径向分量：包含向心加速度项 $-r\dot{\theta}^2$。

    $F_r = m(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)$

横向分量：包含科里奥利加速度项 $2\dot{r}\dot{\theta}$。

    $F_\theta = m(r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})$

(3)柱坐标：

速度：$\vec{v} = \dot{\rho}\vec{e}_\rho + \rho\dot{\phi}\vec{e}_\phi + \dot{z}\vec{k}$

加速度：$\vec{a} = (\ddot{\rho} - \rho\dot{\phi}^2)\vec{e}_\rho + (\rho\ddot{\phi} + 2\dot{\rho}\dot{\phi})\vec{e}_\phi + \ddot{z}\vec{k}$

Newton第二定律：

径向分量：$F_\rho = m(\ddot{\rho} - \rho\dot{\phi}^2)$

横向分量：  $F_\phi = m(\rho\ddot{\phi} + 2\dot{\rho}\dot{\phi})$

轴向分量：与直角坐标相同。  $F_z = m\ddot{z}$

$\nabla = \vec{e}_\rho\frac{\partial}{\partial \rho} + \vec{e}_\phi\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \phi} + \vec{k}\frac{\partial}{\partial z}$

(4)球坐标

坐标变量为 $(r, \theta, \phi)$，其中 $r$ 为矢径，$\theta$为极角（与 $ z $ 轴夹角），$ \phi$为方位角。

速度：$\vec{v} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta + r\sin\theta\dot{\phi}\vec{e}_\phi$

加速度：$\begin{aligned}

    \vec{a} = & \left( \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 - r\sin^2\theta\dot{\phi}^2 \right)\vec{e}_r \\

    & + \left( r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} - r\sin\theta\cos\theta\dot{\phi}^2 \right)\vec{e}_\theta \\

    & + \left( r\sin\theta\ddot{\phi} + 2\dot{r}\sin\theta\dot{\phi} + 2r\cos\theta\dot{\theta}\dot{\phi} \right)\vec{e}_\phi

    \end{aligned}$

Newton第二定律：

径向分量：$ F_r = m(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2 - r\sin^2\theta\dot{\phi}^2)$

极角分量：$F_\theta = m(r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} - r\sin\theta\cos\theta\dot{\phi}^2)$

方位分量：$ F_\phi = m(r\sin\theta\ddot{\phi} + 2\dot{r}\sin\theta\dot{\phi} + 2r\cos\theta\dot{\theta}\dot{\phi})$

$\nabla = \vec{e}_r\frac{\partial}{\partial r} + \vec{e}_\theta\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + \vec{e}_\phi\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}$

1.1.2.直角坐标系与极坐标系，柱坐标，球坐标的转换

(1)直角坐标与柱坐标互化

$x = \rho\cos\phi$

$y = \rho\sin\phi$

$z = z$

$\rho = \sqrt{x^2+y^2}$

$\phi = \arctan(y/x)$

$z = z$

(2)直角坐标系与球坐标系互化

$x = r\sin\theta\cos\phi$

$y = r\sin\theta\sin\phi$

$z = r\cos\theta$

$r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\theta = \arccos(z/r)$

$\phi = \arctan(y/x)$