待更新，有三种方法，比茴香豆的茴字少一种

引言

什么是交错调和级数？

根据毕导幼儿园就学过的知识，调和级数指的是 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$ ，它是一个发散的级数。它的发散性是很好证明的，这里不多讨论。

那么，如果我们把调和级数的偶数项全部改为负的呢？

这样我们就得到了 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$ ，称为交错调和级数。这个级数收敛还是发散？如果收敛，和是多少？

由于其为交错级数（一项正，一项负），我们可以使用交错级数敛散性的莱布尼兹判别法：若非负单调减数列 $\{a_n\}$ 满足 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$ ，则交错级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n(-1)^{n-1}$ 收敛。

这里我们取 $a_n=\displaystyle\frac{1}{n}$ ，则显然交错调和级数收敛。那么问题来了，和是多少？

一、定积分

由于交错调和级数已经是收敛的，部分和数列的任何一个子列也应该收敛到级数的和。于是我们考虑

 $S_{2n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}$ 

它也应该收敛到级数的和，即

 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{2n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ 

故我们只需要求 $S_{2n}$ 的极限即可。

接下来的内容需要一些注意力，请不要移开目光：

 $S_{2n}$ 是什么？

把调和级数的前 $2n$ 项和的偶数项改为负的，对吧？

那么它和调和级数的前 $2n$ 项和相差什么呢？

差了 $\displaystyle 2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n})=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$ 。

所以我们有：

 $S_{2n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n\frac{2}{2k}=\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}$ 。

如果这样的下标看着奇怪，可以微调一下：

 $S_{2n}=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+k}$ 。

所以我们要求的就是

 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+k})$ 

凭借毕导学习定积分时养成的注意力，我们注意到这里的内容可以写成黎曼和：

 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+k})=\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}})$ 

我们令 $x_k=\displaystyle\frac{k}{n}$ ，那么 $x_0=0$ ， $x_n=1$ ， $\Delta x_k=x_k-x_{k-1}=\displaystyle\frac{1}{n}$ ；

再令 $\xi_k=x_k$ ，则原式 $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\sum_{k=1}^n\frac{\Delta x_k}{1+\xi_k})$ 。

由定积分的定义，这个式子就是 $\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm dx}{1+x}$ 。于是我们就可以得出结果：

 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\lim_{n\to\infty}S_{2n}=\int_0^1\frac{\mathrm dx}{1+x}=[\ln(1+x)]_0^1=\ln 2$ 。

完成！

从而交错调和级数的和是 $\ln 2$ ，约等于 $0.693$ 。

这是我们的第一种做法，很好理解，然而有点耗费注意力。那还有什么别的做法吗？