物理

101《电磁学》公式与二级结论整理

与LaTeX搏斗失败，传手稿……

（原作:@好好学习，天天向上！ 整理:@世末的积雨云『Again！』 上传:我自己）

LaTeX有机会再说

第三章

1. 真空中点电荷间相互作用能

$$W_{\text{互}} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} q_i U_i$$

（$U_i$：除$q_i$以外所有点电荷在$\vec{r}_i$处电势）

2. 静电能（真空）

$$\begin{aligned}W_{\text{自}} &= \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} \iiint_{V_i} \rho_e(\vec{r}) U^{(i)}(\vec{r}) \,\mathrm{d}V \\&\quad \scriptscriptstyle \text{第$i$个带电体在自身处产生的电势} \\[8pt]W_e \quad + \quad \\[8pt]W_{\text{互}} &= \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} \iiint_{V_i} \rho_e(\vec{r}) \cdot U_i(\vec{r}) \,\mathrm{d}V \\&\quad \scriptscriptstyle \text{除第$i$个带电体外其它带电体在$\vec{r}$处电势}\end{aligned}$$$$\begin{cases}W_{\text{互}}：\text{可进行点/线电荷近似} \\W_{\text{自}}：\text{必须用体积分（点/线电荷自身处 } U\to\infty\text{，自能发散。）}\end{cases}$$（体元$U\to 0$，故成立）$$W_{\text{互}} \underset{U_i(\vec{r}) \approx U_i(\vec{r}_i)}{\stackrel{\text{近似为点电荷}}{\longrightarrow}} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} U_i(\vec{r}_i) \iiint_{V_i} \rho_e(\vec{r}) \,\mathrm{d}V = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} q_i U_i$$（与1.结论一致）

对于体元，可证$\mathrm{d}V \to 0$时，自身产生电势$U^{(i)} \to 0$，即对于每个体元$\mathrm{d}W_{\text{自}} \to 0$，$$\text{则}\ \mathrm{d}W_e = \mathrm{d}W_{\text{互}} \implies W_e = W_{\text{互}} = \frac{1}{2} \iiint_V \rho_e(\vec{r}) \cdot U(\vec{r}) \cdot \mathrm{d}V$$（取体积元）

3. 有电介质的情形

1) 定义静电能 $W_e = A'$，$A'$为外界在某指定过程中对系统所做的功。可以证明在这个定义下：$$W_e = \frac{1}{2} \iiint_V \rho_{e0}(\vec{r}) \, U(\vec{r}) \,\mathrm{d}V$$（$\rho_{e0}$为自由电荷密度）

2) 定义 宏观静电能$$W_{e0} = \frac{1}{2} \iiint_V \rho_{e0}(\vec{r}) \cdot U(\vec{r}) \,\mathrm{d}V + \frac{1}{2} \iiint_V \rho_e'(\vec{r}) \cdot U(\vec{r}) \,\mathrm{d}V$$$\rho_{e0}$：自由电荷密度 $\quad$ $\rho_e'$：极化电荷密度

极化能$W_{\text{极}}$满足 $W_{\text{极}} + W_{e0} = W_e$则有$$W_{\text{极}} = W_e - W_{e0} = -\frac{1}{2} \iiint_V \rho_e'(\vec{r}) \cdot U(\vec{r}) \,\mathrm{d}V$$[注] $W_{\text{极}}$积分号前有负号，但不一定是负值

3) 以上结论仅适用于线性无损耗介质。