物理

101《电磁学》公式与二级结论整理

第三章

1. 真空中点电荷间相互作用能

$W_{\text{互}} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n q_i U_i \quad (U_i: \text{除 } q_i \text{ 以外所有点电荷在 } q_i \text{ 处电势}) $

2. 静电能（真空）

          $W_{\text{自}} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \iiint_{V_i} \rho_e(\vec{r}) U^{(i)}(\vec{r}) dV $（$U^{(i)}(\vec{r})$:$\textcolor{red}{\text{第 } i \text{ 个带电体在自身处产生的电势}}$）

$W_e$ $+$

          $W_{\text{互}} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \iiint_{V_i} \rho_e(\vec{r}) \cdot U_i(\vec{r}) dV $（$U_i(\vec{r})$:$\textcolor{red}{\text{除第 } i \text{ 个带电体外，其它带电体在 } \vec{r} \text{ 处电势}}$）

$\left\{\begin{array}{l}W_{\text{互}}: \text{可进行点/线电荷近似} \\W_{\text{自}}: \text{必须用体积分（点/线电荷自身处 } U \to \infty \text{，自能发散。）} \\\quad \text{（体元 } U \to 0 \text{，故成立）}\end{array}\right.$

$W_{\text{互}} \xrightarrow[U_i(\vec{r}) \simeq U(\vec{r})]{\text{近似为点电荷}} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} U_i(\vec{r}) \iiint_{V_i} \rho_e(\vec{r}) \cdot dV = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} q_i U_i \quad (\text{与 1. 结论一致}) $

对于体元，可证 $dV \to 0 $时，自身产生电势 $U^{(i)} \to 0$，即对于每个体元 $dW_{\text{自}} \to 0$，

则 $dW_e = dW_{\text{互}} \Rightarrow W_e = W_{\text{互}} = \frac{1}{2} \iiint_{V} \rho_e(\vec{r}) \cdot U(\vec{r}) \cdot dV \quad (\text{取体元})$

3. 有电介质的情形

1) 定义静电能 $W_e = A'$，$A' $为外界在某指定过程中对系统所做的功。

   可以证明在这个定义下 $W_e = \frac{1}{2} \iiint_{V_0} \rho_{e0}(\vec{r}) U(\vec{r}) \cdot dV，（\rho_{e0} 为自由电荷密度）$

2) 定义宏观静电能$ W_{e0} = \frac{1}{2} \iiint_{V_0} \rho_{e0}(\vec{r}) \cdot U(\vec{r}) \cdot dV + \frac{1}{2} \iiint_{V'} \rho_e'(\vec{r}) \cdot U(\vec{r}) \cdot dV$

  $ \rho_{e0}：自由电荷密度 \quad \rho_e'：极化电荷密度$

   “极化能” $W_{\text{极}}：满足 W_{\text{极}} + W_{e0} = W_e$

   则有 $W_{\text{极}} = W_e - W_{e0} = -\frac{1}{2} \iiint_{V'} \rho_e'(\vec{r}) \cdot U(\vec{r}) \cdot dV$

   [注] $W_{\text{极}}$ 积分号前有负号，但不一定是负值

3) 以上结论仅适用于线性无损耗介质。