物理

高考专题(1).Taylor展开以及高考应用

各位高三的学长们，祝大家高考顺利

Taylor展开在高考中的大题是无法被当成一个被允许的知识点使用的，但是如果大题不会做，我们可以用Taylor展开快速得出答案，然后根据答案推导如何写过程。

下面来详细讲一讲Taylor展开，先说公式

设函数 $ f(x) $ 在点 $ x = a $ 处具有任意阶导数，则 $ f(x) $ 在 $ x = a $ 附近的泰勒展开式为：

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$

当这个a取到0的时候，Taylor展开可以化简为另外的式子即麦克劳林级数展开

麦克劳林级数是泰勒级数在 $ a = 0 $ 时的特例。即：

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

换句话说，麦克劳林级数就是函数在 $ x = 0 $ 处的泰勒展开。

我们可以算几个常见函数的麦克劳林

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$

例题

1.已知函数 $ f(x) = \ln x - ax + 1 $，讨论函数的单调性，并证明：当 $ a > 0 $ 时，$ f(x) \leq 0 $ 恒成立的充要条件是 $ a = 1 $。

考虑在 $ x = 1 $ 处的函数行为，因为 $ f(1) = \ln 1 - a \cdot 1 + 1 = 1 - a $。

若 $ a = 1 $，则 $ f(1) = 0 $，且：

$ f'(x) = \frac{1}{x} - a $

$ f'(1) = 1 - a = 0 $

$ f''(x) = -\frac{1}{x^2} $，故 $ f''(1) = -1 < 0 $

这说明在 $ x=1 $ 处有极大值，且 $ f(1)=0 $，所以 $ f(x) \leq 0 $。

类似于泰勒展开中用二阶导数判断极值点附近函数形状的思想：

$f(x) \approx f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2}(x-1)^2 = 0 + 0 + \frac{-1}{2}(x-1)^2$

即 $ f(x) \approx -\frac{1}{2}(x-1)^2 \leq 0 $，说明函数在 $ x=1 $ 附近为负，结合单调性可证整体非正。

2.设函数 $ f(x) = e^x - ax - 1 $，讨论其零点个数。

考虑在 $ x=0 $ 处展开：

$f(x) = e^x - ax - 1 = \left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots\right) - ax - 1 = (1 - a)x + \frac{x^2}{2} + \cdots$

当 $ a = 1 $ 时，$ f(x) \approx \frac{x^2}{2} > 0 $（$ x \ne 0 $），且 $ f(0) = 0 $，所以只有唯一零点。

当 $ a > 1 $，$ f'(0) = 1 - a < 0 $，函数在原点附近递减，可能有两个零点。