物理

[栖岸计划]毕导的小学二年级数学课：周长一定时，什么图形面积最大？（请输入文本）

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凭借高超的注意力，我们发现，这个式子减去两倍的上面式子，会得到一个有意思的结果：

 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty [n^2(a_n^2+b_n^2+c_n^2+d_n^2)-2n(a_nd_n-b_nc_n)=\frac{L^2}{2\pi^2}-\frac{2S}{\pi}]$ ，

左边可以写为 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty[(na_n-d_n)^2+(nb_n+c_n)^2+(n^2-1)c_n^2+(n^2-1)d_n^2]$ ，

由于 $n \ge 1$ ，求和符号内的每一项都必然非负！

既然每一项都非负，求和结果当然也应该非负（别拿正整数求和抬杠，那不是求和，只是 $\zeta(-1)$ ），也就是

 $\displaystyle\frac{L^2}{2\pi^2}-\frac{2S}{\pi}\ge 0$ ，即 $\displaystyle S\le\frac{L^2}{4\pi}$ 。

也就是说，周长一定时，面积至多为周长的平方除以 $4\pi$ 。那么我们怎么说明面积最大的图形是圆呢？

如果取等，那么上面求和结果为 $0$ 。

当 $n\ge 2$ 时，有 $n^2-1\gt 0$ ，必有 $c_n=d_n=0$ ，进而 $a_n=b_n=0$ ；

当 $n=1$ 时， $a_n=d_n, b_n=-c_n$ ；

 $a_0$ 和 $c_0$ 完全没有受任何限制。

故 $\varphi(x)=\frac{a_0}{2}+a_1\cos x+b_1\sin x$ ， $\psi(x)=\frac{c_0}{2}-b_1\cos x+a_1\sin x$ 。

回代，得到 $x(s)=\frac{a_0}{2}+a_1\cos t+b_1\sin t, y(s)=\frac{c_0}{2}-b_1\cos t+a_1\sin t$ ，

其中 $t=\frac{2s-L}{L}\pi$ 。

看着是不是很像一个圆？怎么证明？

凭借高超的注意力（这个应该真能注意到）， $(x(s)-\frac{a_0}{2})^2+(y(s)-\frac{c_0}{2})^2=(a_1\cos t+b_1\sin t)^2+(-b_1\cos t+a_1\sin t)^2=a_1^2+b_1^2$ ，为定值！

故这曲线是圆心在 $(\frac{a_0}{2}, \frac{c_0}{2})$ ，半径为 $\sqrt{a_1^2+b_1^2}$ 的圆。

至此，我们证明了：对于光滑简单闭曲线，其周长 $L$ 与围成的面积 $S$ 必然满足 $S\le\frac{L^2}{4\pi}$ ，且当 $S=\frac{L^2}{4\pi}$ 时，曲线必然为圆。换句话说，就是在这种情况下，圆是周长一定时面积最大的图形。