物理

[栖岸计划]毕导的小学二年级数学课：周长一定时，什么图形面积最大？（不知第多少个续集）

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把 $\varphi$ 和 $\psi'$ 代入到上面的式子，得到：

 $\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\varphi(t)\psi'(t)\mathrm dt=\sum_{n=1}^\infty n(a_nd_n-b_nc_n)$ 。

即 $\displaystyle\frac{S}{\pi}=\sum_{n=1}^\infty n(a_nd_n-b_nc_n)$ 。

现在得到了面积的表达式，如何将其与周长关联起来呢？

依稀记得，我们得到过一个与周长有关的式子： $(\varphi'(t))^2+(\psi'(t))^2=\frac{L^2}{4\pi^2}$ ，

两边对 $t$ 积分，即可得到 $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi(\varphi'(t))^2\mathrm dt+\int_{-\pi}^\pi(\psi'(t))^2\mathrm dt = \frac{L^2}{2\pi}$ 。

两边同除以 $\pi$ ，再代入帕塞瓦尔恒等式，即可得 $\displaystyle\frac{L^2}{2\pi^2}=\sum_{n=1}^\infty n^2(a_n^2+b_n^2+c_n^2+d_n^2)$ 。