物理

（你猜为什么又多一个续集）[栖岸计划]毕导的小学二年级数学课：周长一定时，什么图形面积最大？（续集）

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故 $\varphi'(x)\sim\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(nb_n\cos nx-na_n\sin nx)$ 。

类似地， $\psi'(x)\sim\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(nd_n\cos nx-nc_n\sin nx)$ 。

级数展开有了，现在要求 $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \varphi(x)\psi'(x)\mathrm dx$ ，怎么办呢？

一项项乘，然后一项项积分（划掉）

这时候就要拿出终极大招：帕塞瓦尔恒等式！（你猜是几年级学的）

对于在 $[-\pi,\pi]$ 上平方可积的函数 $f(x)$ ，记 $f(x)\sim\displaystyle\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ ，

则 $\displaystyle\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\mathrm dx$ 。

同时我们利用一个小小的结论： $f+g$ 的傅里叶级数各项系数，为 $f$ 和 $g$ 各项系数分别相加。

这点很容易理解：显然，

 $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\mathrm dx+\int_{-\pi}^\pi g(x)\cos nx\mathrm dx=\int_{-\pi}^\pi (f(x)+g(x))\cos nx\mathrm dx$ ，

对 $\sin$ 同理。