物理 学习贯彻Hatcher精神（二）
本系列按照Hatcher的著作«Algebraic Topology»的节奏分多个帖子讲代数拓扑，至于第0章应该不用讲🌚
本章主要讲的就是系统性地清点空间在各个维度上的洞
思想转变：基本群$\pi_1$是非交换群，计算困难，但信息丰富
同调群$H_n$则是交换群（通常是向量空间），计算上要友善得多，且能系统性地探测所有维度
它的代价是丢失了部分精细的同伦信息，但换来的是强大的可计算性
一、从几何直觉到代数构造
Hatcher通过一个极其重要的对比，建立同调论的几何直觉
一维洞的再次审视：环路&循环
在基本群中，我们关注的是环路本身
而环路与环路之间通过同伦（连续变形）来等价
在同调论中，我们关注的是一维循环
一个环路，如果你忘记它的方向和参数化速度，只把它看作一条有向的封闭路径，那它就是一个1维循环
循环与循环之间通过边界来等价：如果一个1维循环刚好是某个二维区域的边界，那它就是填得满的洞，被认为是零调的
关键在于一维同调群$H_1$的分类，比基本群$\pi_1$粗糙
在$\pi_1$中，先绕圈$A$再绕圈$B$，与先绕圈B再绕圈A，可能代表不同元素（不可交换）
但在$H_1$中，它们是一样的（可交换）
因此，$H_1$实际上是$\pi_1$的交换化：$H_1(X) \cong \pi_1(X)/[\pi_1, \pi_1]$
二维洞的直觉：空腔
基本群探测不到球面$S^2$的内部是空的，因为任何套索在球面上都可以滑落收缩为一个点（$\pi_1(S^2)=0$）
但同调论可以，整个球面本身就是一个二维的空腔的边界
它是一个非平凡的二维循环，且它不是任何三维区域的边界（在球面本身上讨论），因此它代表了一个非平凡的二维同调类
这就是$H_2(S^2) \cong \mathbb{Z}$的几何来源
二、单纯同调
为了把上述直觉代数化，Hatcher 先介绍了单纯同调，这是最几何、最容易计算的一种同调
剖分与链复形：假设你的空间可以被三角剖分成许多顶点、边、三角形、四面体等，这些就是单形
它们的线性组合（系数在某个交换群，通常为$\mathbb{Z}$或$\mathbb{Z}_2$）就构成了$n$维链群 $C_n$
边界映射：核心是一个代数操作：取边界
一个线段（1维单形）的边界是它的终点减去起点
一个三角形（2维单形）的边界是它的三条边按正向相加
以此类推，就有了边界同态$\partial_n: C_n \to C_{n-1}$
核心性质: $\partial^2 = 0$：这是整个同调论最根本的代数性质——“边界的边界是空集”
一个区域的边界，本身是没有边界的闭合图形，这就构造出了一个链复形：$\cdots \to C_n \xrightarrow{\partial_n} C_{n-1} \xrightarrow{\partial_{n-1}} C_{n-2} \to \cdots$
同调群的定义：于是，我们就可以精确定义洞了
循环：没有边界的链，即满足$\partial_n(c)=0$的$c$
它们构成子群$Z_n = \text{Ker} \partial_n$
边界：是某个更高维链的边界的链，即可以写成$c = \partial_{n+1}(d)$的$c$
它们构成子群$B_n = \text{Im} \partial_{n+1}$
由于 $\partial^2=0$，我们有 $B_n \subseteq Z_n$
n维同调群就定义为它们的商群：$H_n = \frac{Z_n}{B_n} = \frac{\text{循环}}{\text{边界}}$
它的元素就代表非边界的循环，也就是我们寻找的洞
三、奇异同调
单纯同调很直观，但它严重依赖三角剖分，难以证明其拓扑不变性
因此，Hatcher立刻引入了更强大、更灵活的奇异同调
在奇异同调中，一个奇异$n-$单形不再是一个直边直面的几何单形，而是从一个标准n维单形$\Delta^n$到我们空间$X$的一个连续映射$。\sigma: \Delta^n \to X$
这允许单形在空间中任意弯曲
优势在于通过这种方式，边界映射和链复形的构造可以完美地推广到任何拓扑空间，无需任何剖分结构
利用这个框架干净利落地证明了同调群的同伦不变性
四、Mayer-Vietoris序列与切除定理
有了定义，接下来就是计算，Hatcher提供了最核心的两个工具
切除定理：它告诉我们，在计算一个空间对$(X, A)$的相对同调时，如果子空间$Z$的闭包包含在$A$的内部，那么完全可以把 $Z$切除掉，而不会改变相对同调群Mayer-Vietoris序列：如果你把空间$X$分解为两个开集$A$和$B$的并集，那么$A$、$B$和$A \cap B$的同调群会通过一个很长的正合序列相互关联：
$\cdots \to H_n(A \cap B) \to H_n(A) \oplus H_n(B) \to H_n(X) \to H_{n-1}(A \cap B) \to \cdots$
这个序列可以在很多情况下像搭积木一样，从已知部分推导出整体的同调群
一个很经典的🌰就是用Mayer-Vietoris序列结合同伦不变性，轻松算出所有球面 $S^n$ 的同调群：
$H_0(S^n) \cong \mathbb{Z}$（连通空间）
$H_k(S^n) = 0$，对于$0 \lt k \lt n$
$H_n(S^n) \cong \mathbb{Z}$（那个唯一的n维洞）
$H_k(S^n) = 0$，对于$k \gt n$
五、胞腔同调
（这部分的$\test{CW}$复形可以看我稳定同伦论预备篇的帖子）
算法化：对于一个$\test{CW}$复形$X$，其$n$维胞腔恰好对应生成其n维链群 $C_n$。而边界映射$\partial_n$完全由附着映射的度数来决定，而这个度数可以通过纯粹的代数组合方式计算出来
计算简化为线性代数：计算一个$\test{CW}$复形的同调，变成了：
1. 对于每个n，写下所有n维胞腔作为基底的自由交换群$C_n$
2. 确定边界同态对应的矩阵
3. 计算该矩阵的核与像，然后求商
这就成了一套标准化的代数程序，对于很多空间几乎是机械式操作
本章已完结（2/4）