物理

学习贯彻Hatcher精神（一）

本系列按照Hatcher的著作«Algebraic Topology»的节奏分多个帖子讲代数拓扑，至于第0章应该不用讲🌚

不废话，直入正题😋

一、基本群的定义与直觉

核心思想：在空间中，从一点出发并回到该点的闭合路径，称为环路

如果两个环路能通过连续变形（不撕裂、不离开空间）变成彼此，则称它们同伦

基本群，就是研究所有以某点$x_0$为基点的环路，在同伦等价下构成的群

群结构是如何定义的？

元素：不是单个环路，而是环路的同伦等价类$[f]$

乘法：把两个环路首尾相接地连接起来

先走完第一个环路$f$，再走完第二个环路$g$，得到新环路$f \cdot g$

这个操作的等价类$[f] \cdot [g] = [f \cdot g]$就是群的乘法

单位元：那个可以收缩成一个点的常值环路

逆元：与原环路路径完全相同、但方向相反的环路

几何直觉：为什么它能探测洞？

在一个圆盘上，任何环路都能连续地收缩到一个点，所以它的基本群是平凡群$\{e\}$

在一个圆环$S^1$上，环绕中心孔的环路就无法收缩成一个点

顺逆时针各绕一圈的环路，也能收缩成一点，相当于有一根绳子退绕回去了

我用最客观，最直接，最不绕弯，最一针见血，最豆包的方式告诉你结论♿（凑字数中）

一个空间洞越多，能卡住的、本质上不同的环路就越多，基本群就越复杂、越大

花大量精力计算圆周 S^1 的基本群，因为它是之后所有复杂空间计算的单位

二、基本群的计算方法 (I) 

面对一个复杂空间，直接通过定义计算其基本群几乎是不可能的

Van Kampen定理提供了第一个强大的计算利器，核心思想是切开处理

直觉：如果空间$X$可以分解为两个开集$A$和$B$的并集，且$A$、$B$和交集$A∩B$的基本群已知，那么X的基本群可以由$A$和$B$的基本群通过某种代数拼凑出来

代数拼凑: 自由积与合并

这个拼凑在群论上称为自由积的合并，它会把$A$和$B$的生成元和关系合并，并将$A∩B$中的同一个环路在$A$和$B$中的两种表示视为等同

另外，任何一个图的基本群都是自由的

它的秩等于其圈的个数

三、覆盖空间理论

这是本章最难理解的一部分🌚（纯个人认为）

覆盖空间是什么？

一个空间$\tilde{X}$覆盖另一个空间 $X$，就像实数直线$\mathbb{R}$螺旋地覆盖圆周$S^1$

关键在于局部同胚：$\tilde{X}$中的每一点，都有一小块与$X$中对应点的一小块完全一样

但整体上，$X$上的一个点可能在$\tilde{X}$上有多个复制品

提升定理：环路的展开

这是连接覆盖空间与基本群的核心桥梁

想象一个在$X$上的环路$f$，它在$\tilde{X}$中会自动提升成一条路径$\tilde{f}$，但不一定还是环路

如果$f$在$X$中可以收缩成一点（即在基本群中平凡），那么它的提升$\tilde{f}$在$\tilde{X}$中必然也是一个闭合环路

反之，如果它代表非平凡元素，提升后的路径终点和起点会落在不同的层上，无法闭合

核心对应关系: 覆盖空间和基本群之间存在深刻联系，这是Hatcher花了很大篇幅构建的体系

基本群的子群与覆盖空间：$X$在路径连通下的覆盖空间，与$X$的基本群的子群存在一一对应

万能覆盖：对应于平凡子群$\{e\}$的覆盖空间

它是所有覆盖空间中最大的一个，且其本身是单连通的（基本群平凡）

🌰：$\mathbb{R}$就是$S^1$的万能覆盖

正则覆盖：对应于正规子群的覆盖空间

这时，覆盖变换群（同构于$\pi_1(X) / \text{子群}$）对$\tilde{X}$的作用非常规则，没有分支点，像多层完美对称的蛋糕（实际上在吃蛋糕是想到的比喻🌚）

四、基本群与更广泛的同伦

在建立起计算与几何直觉后，Hatcher进一步拓展基本群的概念

相对基本群$\pi_n(X,A,x_0)$：把环路的定义放宽，不再是回到同一点的环，而是将起点和终点都限制在子空间$A$中的路径段

这使得我们也可以研究空间对（如圆盘和它的边界）之间的关系

同伦等价下的不变性：基本群是同伦不变性的，如果两个空间同伦等价，它们的基本群同构

由此，我们定义的代数工具，确实能刻画空间在同伦意义下的本质特征

本章已完结（1/4）