物理

[栖岸计划]中国科学技术大学2026年春季学期线性代数(B1)期中考试试题

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试卷满分：100分

考试时间：140分钟

一、基础计算题（36分，每小题6分）

1. $\begin{vmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{vmatrix}=\_\_\_\_\_\_\_\_$ ； $\begin{vmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\10&1&2&3\end{vmatrix}=\_\_\_\_\_\_\_\_$ 。

2. 方程 $\begin{cases}x_1+2x_2-3x_3-4x_4=-5\\3x_1-x_2+5x_3+6x_4=-1\\-5x_1-3x_2+x_3+2x_4=11\end{cases}$ 的通解为 $\_\_\_\_\_\_\_\_$ 。

3. 设 $A=\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\\1&2&2\end{pmatrix}$ ，则 $A^*=\_\_\_\_\_\_\_\_$ ， $A^{-1}=\_\_\_\_\_\_\_\_$ 。

4. 仍设 $A=\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\\1&2&2\end{pmatrix}$ ， $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3$ 是其列向量， $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是其转置的列向量。已知 $v\in\R^3$ 在 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 下的坐标为 $(1,1,0)$ ，则其在 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 下的坐标是 $\_\_\_\_\_\_\_\_$ 。

5. 设 $A=\begin{pmatrix}0&1&2&3&4\\1&1&0&0&0\\1&0&2&0&0\\1&0&0&3&0\\1&0&0&0&4\end{pmatrix}$ ，则 $A^{-1}=\_\_\_\_\_\_\_\_$ 。

6. 设 $A\in\mathbb F^{4\times 4}$ ，满足 $(I-A)^3=O$ ，则 $\operatorname{rank} (I-A)$ 的最大值为 $\_\_\_\_\_\_\_\_$ ，用 $A$ 的多项式表示： $(2I-A)^{-1}=\_\_\_\_\_\_\_\_$ 。

二、综合计算题（每题8分，共16分）

1. 设 $A=\begin{pmatrix}1&2&-3&-4&-5\\3&-1&5&6&-1\\-5&-3&1&2&11\\-9&-4&-1&1&1\end{pmatrix}$ 。

   （1）记其列向量为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ ，写出其一个极大线性无关组。

   （2）记其行向量为 $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ ，写出其一个极大线性无关组。

2. 求 $\begin{vmatrix}1&a^2&a^3&a^4\\1&b^2&b^3&b^4\\1&c^2&c^3&c^{4}\\1&d^2&d^3&d^4\end{vmatrix}$ ，要求完全分解因式。

三、（1）设 $A, B, C$ 是同阶方阵，问 $\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}O&O\\C&O\end{pmatrix}$ 是否乘法可交${}$换？若是，证明之；若否，给出反例。（4分）

（2）设 $A=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\2&0&1&2\\0&1&0&1\end{pmatrix}$ ，求 $A^n$ 与 $A^{-1}$ 。（9分）

四、（1）设 $A\in \mathbb F^{m\times n}$ ，证明： $V=\{X\in \mathbb F^{n\times p}~|~AX=O\}$ 是 $\mathbb F^{n\times p}$ 的线性子空间。（3分）

（2）设 $A=\begin{pmatrix}1&2&1&2\\0&1&1&0\\1&3&2&2\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\\2&3\end{pmatrix}$ 。设 $V=\{X\in \R^{4\times 2}~|~AX=O\}$ ，求 $V$ 的一组基，并给出矩阵方程 $AX=B$ 的一组特解。（8分）

（3）设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，证明存在一多项式 $f(x)\in\mathbb F[x]$ ，使得 $f(A)=O$ 。（4分）

五、已知 $A, B, C\in \mathbb F^{n\times n}$ ，证明： $\operatorname{rank} \begin{pmatrix}A&O\\C&B\end{pmatrix}\ge \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)$ ，取等当且仅当存在 $D, E$ ，使得 $C=DA+BE$ 。（12分）

六、已知 $A$ 为实对称矩阵。

（1）证明：对任意的 $x\in \R^n$ ，有 $Ax=0$ 当且仅当 $A^2x=0$ 。（4分）

（2）证明：对任意的正整数 $k$ ，有 $\operatorname{rank}(A^k)=\operatorname{rank}(A)$ 。（4分）