物理 [栖岸计划][数学四大工具之一-微分方程] 第五章：拉普拉斯变换与微分方程
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5.1 拉普拉斯变换的定义与性质
定义：设函数 $ f(t) $ 在 $ t \geq 0 $ 上有定义，则拉普拉斯变换为$$F(s) = \mathcal{L}[f(t)] = \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt$$其中 $ s = \sigma + i\omega $ 为复变量。
存在条件：
- $ f(t) $ 在任意有限区间上分段连续
- 存在常数 $ M > 0 $ 和 $ \gamma $，使得 $ |f(t)| \leq M e^{\gamma t} $（指数阶函数）
常用函数的拉普拉斯变换：
| $ f(t) $ | $ F(s) = \mathcal{L}[f(t)] $ | 收敛域 |
|---|---|---|
| $ 1 $ | $ \dfrac{1}{s} $ | $ \operatorname{Re}(s) > 0 $ |
| $ t^n $ | $ \dfrac{n!}{s^{n+1}} $ | $ \operatorname{Re}(s) > 0 $ |
| $ e^{at} $ | $ \dfrac{1}{s-a} $ | $ \operatorname{Re}(s) > \operatorname{Re}(a) $ |
| $ \sin \omega t $ | $ \dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2} $ | $ \operatorname{Re}(s) > 0 $ |
| $ \cos \omega t $ | $ \dfrac{s}{s^2 + \omega^2} $ | $ \operatorname{Re}(s) > 0 $ |
| $ t^n e^{at} $ | $ \dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}} $ | $ \operatorname{Re}(s) > \operatorname{Re}(a) $ |
| $ e^{at} \sin \omega t $ | $ \dfrac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2} $ | $ \operatorname{Re}(s) > \operatorname{Re}(a) $ |
| $ e^{at} \cos \omega t $ | $ \dfrac{s-a}{(s-a)^2 + \omega^2} $ | $ \operatorname{Re}(s) > \operatorname{Re}(a) $ |
| $ \delta(t) $（单位冲激） | $ 1 $ | 全体复平面 |
| $ u(t) $（单位阶跃） | $ \dfrac{1}{s} $ | $ \operatorname{Re}(s) > 0 $ |
基本性质：
| 性质 | 时域 | 复频域 |
|---|---|---|
| 线性 | $ \alpha f(t) + \beta g(t) $ | $ \alpha F(s) + \beta G(s) $ |
| 微分 | $ f'(t) $ | $ sF(s) - f(0) $ |
| 二阶微分 | $ f''(t) $ | $ s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) $ |
| $ n $ 阶微分 | $ f^{(n)}(t) $ | $ s^n F(s) - \sum_{k=1}^n s^{n-k} f^{(k-1)}(0) $ |
| 积分 | $ \int_0^t f(\tau) d\tau $ | $ \dfrac{F(s)}{s} $ |
| 位移（频域） | $ e^{at} f(t) $ | $ F(s-a) $ |
| 位移（时域） | $ f(t-a) u(t-a) $ | $ e^{-as} F(s) $ |
| 相似性 | $ f(at) $ | $ \dfrac{1}{a} F\left(\dfrac{s}{a}\right) $ |
| 卷积 | $ (f * g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t-\tau) d\tau $ | $ F(s) G(s) $ |
| 初值定理 | $ \lim_{t \to 0^+} f(t) $ | $ \lim_{s \to \infty} sF(s) $ |
| 终值定理 | $ \lim_{t \to \infty} f(t) $ | $ \lim_{s \to 0} sF(s) $ |
5.2 拉普拉斯逆变换
定义：$$f(t) = \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma - i\infty}^{\sigma + i\infty} F(s) e^{st} \, ds$$
常用方法：
方法一：部分分式分解法
对于有理函数 $ F(s) = \frac{P(s)}{Q(s)} $（$ \deg P < \deg Q $）：
- 将 $ Q(s) $ 因式分解
- 根据根的类型写出部分分式形式
- 待定系数求解
- 查表求逆变换
部分分式形式：
| 分母因子 | 部分分式形式 |
|---|---|
| $ s - a $（单实根） | $ \dfrac{A}{s-a} $ |
| $ (s-a)^k $（$ k $ 重实根） | $ \dfrac{A_1}{s-a} + \dfrac{A_2}{(s-a)^2} + \cdots + \dfrac{A_k}{(s-a)^k} $ |
| $ s^2 + bs + c $（共轭复根） | $ \dfrac{As + B}{s^2 + bs + c} $ |
方法二：留数法$$\mathcal{L}^{-1}[F(s)] = \sum \operatorname{Res}[F(s)e^{st}]$$
方法三：卷积定理$$\mathcal{L}^{-1}[F(s)G(s)] = \int_0^t f(\tau) g(t-\tau) d\tau$$
5.3 用拉普拉斯变换解常微分方程
步骤：
- 对微分方程两边取拉普拉斯变换
- 代入初始条件
- 解代数方程得到 $ Y(s) $
- 求拉普拉斯逆变换得到 $ y(t) $
例1：解初值问题 $ y'' - 3y' + 2y = 0 $，$ y(0)=1 $，$ y'(0)=0 $
解：取拉普拉斯变换$$[s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)] - 3[s Y(s) - y(0)] + 2Y(s) = 0$$代入初始条件：$$(s^2 - 3s + 2)Y(s) - s + 3 = 0$$$$Y(s) = \frac{s-3}{s^2 - 3s + 2} = \frac{s-3}{(s-1)(s-2)} = \frac{2}{s-1} - \frac{1}{s-2}$$求逆变换：$$y(t) = 2e^{t} - e^{2t}$$
例2：解初值问题 $ y'' + y = \sin t $，$ y(0)=0 $，$ y'(0)=0 $
解：取拉普拉斯变换$$s^2 Y(s) + Y(s) = \frac{1}{s^2+1}$$$$Y(s) = \frac{1}{(s^2+1)^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{s^2+1} - \frac{1}{(s^2+1)^2} \right)$$查表得：$$y(t) = \frac{1}{2}(\sin t - t\cos t)$$
5.4 拉普拉斯变换解微分方程组
例：解方程组$$\begin{cases}x' + y = e^t \y' + x = 0\end{cases}\quad x(0)=1,\; y(0)=0$$
解：取拉普拉斯变换$$\begin{cases}sX(s) - 1 + Y(s) = \dfrac{1}{s-1} \sY(s) + X(s) = 0\end{cases}$$整理得：$$\begin{cases}sX(s) + Y(s) = 1 + \dfrac{1}{s-1} = \dfrac{s}{s-1} \X(s) + sY(s) = 0\end{cases}$$解得：$$X(s) = \frac{s^2}{(s-1)(s^2-1)} = \frac{s^2}{(s-1)^2(s+1)} = \frac{1/4}{s+1} + \frac{3/4}{s-1} + \frac{1/2}{(s-1)^2}$$$$Y(s) = -\frac{X(s)}{s} = -\frac{s}{(s-1)^2(s+1)}$$求逆变换：$$x(t) = \frac{1}{4}e^{-t} + \frac{3}{4}e^{t} + \frac{1}{2}te^{t}$$$$y(t) = -\frac{1}{4}e^{-t} - \frac{1}{2}te^{t} + \frac{1}{4}e^{t}$$
5.5 拉普拉斯变换与传递函数
传递函数定义：对于线性时不变系统，传递函数为$$H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$$其中 $ Y(s) $ 为输出，$ U(s) $ 为输入（零初始条件下）。
传递函数与单位冲激响应：$$h(t) = \mathcal{L}^{-1}[H(s)]$$系统输出为卷积：$$y(t) = (h * u)(t) = \int_0^t h(\tau) u(t-\tau) d\tau$$
传递函数与单位阶跃响应：$$Y(s) = H(s) \cdot \frac{1}{s} \quad \Rightarrow \quad y_{\text{step}}(t) = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{H(s)}{s}\right]$$
5.6 应用实例：电路分析
RLC 串联电路：$$L\frac{di}{dt} + Ri + \frac{1}{C}\int_0^t i(\tau) d\tau = u(t)$$
取拉普拉斯变换（零初始条件）：$$\left(Ls + R + \frac{1}{Cs}\right) I(s) = U(s)$$
传递函数：$$H(s) = \frac{I(s)}{U(s)} = \frac{1}{Ls + R + \frac{1}{Cs}} = \frac{Cs}{LCs^2 + RCs + 1}$$
数值模拟代码
哦对了，原码自取
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp
# 问题：y'' + y = sin t, y(0)=0, y'(0)=0
# 解析解：y(t) = (sin t - t cos t)/2
def analytical_solution(t):
return 0.5 * (np.sin(t) - t * np.cos(t))
def ode_system(t, y):
# y = [y, y']
return [y[1], np.sin(t) - y[0]]
t_span = (0, 20)
t_eval = np.linspace(0, 20, 1000)
y0 = [0, 0]
sol = solve_ivp(ode_system, t_span, y0, t_eval=t_eval)
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(sol.t, sol.y[0], 'b-', label='数值解', linewidth=2)
t_ana = np.linspace(0, 20, 500)
plt.plot(t_ana, analytical_solution(t_ana), 'r--', label='拉普拉斯变换解析解', linewidth=2)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title("y'' + y = sin t, y(0)=0, y'(0)=0")
plt.legend()
plt.grid()
plt.savefig('fig_5-1_laplace_vs_numerical.png', dpi=150)
plt.show()
