物理 [栖岸计划][数学四大工具之一-微分方程] 第三章：高阶微分方程
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3.1 可降阶的高阶微分方程
对于某些高阶方程，可通过变量代换降为一阶方程求解。
类型一：形如 $$ y^{(n)} = f(x) $$
解法：直接积分 $ n $ 次：$$ y = \int \cdots \int f(x) \, dx \cdots dx + C_1 x^{n-1} + \cdots + C_n $$
类型二：不显含 $ y $，即 $$ F(x, y', y'') = 0 $$
解法：令 $ p = y' $，则 $ y'' = \dfrac{dp}{dx} $，原方程化为：$$ F\left(x, p, \frac{dp}{dx}\right) = 0 $$解得 $ p = \varphi(x, C_1) $，再积分得 $ y = \int \varphi(x, C_1) \, dx + C_2 $。
类型三：不显含 $ x $，即 $$ F(y, y', y'') = 0 $$
解法：令 $ p = y' $，并将 $ x $ 视为自变量，则 $ y'' = \dfrac{dp}{dx} = \dfrac{dp}{dy} \cdot \dfrac{dy}{dx} = p \dfrac{dp}{dy} $，代入得：$$ F\left(y, p, p \frac{dp}{dy}\right) = 0 $$解得 $ p = \psi(y, C_1) $，再由 $ \dfrac{dy}{dx} = \psi(y, C_1) $ 分离变量积分。
3.2 线性微分方程的一般理论
标准形式：$$ y^{(n)} + a_1(x) y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x) y' + a_n(x) y = f(x) $$
齐次方程（$ f(x) \equiv 0 $）：$$ y^{(n)} + a_1(x) y^{(n-1)} + \cdots + a_n(x) y = 0 $$
叠加原理：若 $ y_1, y_2 $ 是齐次方程的解，则 $ C_1 y_1 + C_2 y_2 $ 也是解。
线性无关与Wronsky行列式：$$ W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} $$若 $ W \neq 0 $，则解线性无关；若在某点 $ x_0 $ 处 $ W(x_0) = 0 $，则在整个区间上 $ W \equiv 0 $。
通解结构：
- 齐次方程：存在 $ n $ 个线性无关解 $ y_1, \dots, y_n $，通解为 $ y = \sum_{k=1}^n C_k y_k $。
- 非齐次方程：特解 $ y^ $ 加上齐次通解：$ y = y^ + \sum_{k=1}^n C_k y_k $。
3.3 常系数齐次线性微分方程
方程形式：$$ y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1} y' + a_n y = 0 $$
特征方程：$$ r^n + a_1 r^{n-1} + \cdots + a_{n-1} r + a_n = 0 $$
根据特征根写出解：
| 特征根 $ r $ | 解的形式 |
|---|---|
| 单实根 | $ Ce^{rx} $ |
| $ k $ 重实根 | $ (C_1 + C_2 x + \cdots + C_k x^{k-1}) e^{rx} $ |
| 单复根 $ \alpha \pm i\beta $ | $ e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x) $ |
| $ k $ 重复根 $ \alpha \pm i\beta $ | $ e^{\alpha x} \big[ (A_1 + A_2 x + \cdots) \cos\beta x + (B_1 + B_2 x + \cdots) \sin\beta x \big] $（括号内为 $ k $ 次多项式） |
例：$ y'' - 2y' + 5y = 0 $，特征方程 $ r^2 - 2r + 5 = 0 $，根 $ r = 1 \pm 2i $，通解：$$ y = e^{x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) $$
3.4 常系数非齐次线性微分方程
方程形式：$$ y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_n y = f(x) $$
待定系数法（适用于 $ f(x) $ 为特殊形式）
(1) $ f(x) = P_m(x) e^{\mu x} $
设特解 $ y^* = x^k Q_m(x) e^{\mu x} $，其中：
- $ Q_m(x) $ 为 $ m $ 次待定多项式
- $ k = \mu $ 作为特征根的重数（$ k=0,1,2,\dots $）
(2) $ f(x) = e^{\alpha x}[P_m(x) \cos\beta x + Q_n(x) \sin\beta x] $
设特解 $ y^* = x^k e^{\alpha x}[R_l(x) \cos\beta x + S_l(x) \sin\beta x] $，其中 $ l = \max(m, n) $，$ k = \alpha + i\beta $ 作为特征根的重数。
常数变易法（适用于一般 $ f(x) $）
设齐次解 $ y_1, \dots, y_n $，令 $ y = \sum_{k=1}^n C_k(x) y_k $，代入方程解出 $ C_k'(x) $。
3.5 欧拉方程
形式：$$ x^n y^{(n)} + a_1 x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1} x y' + a_n y = f(x) $$
解法：令 $ x = e^t $ 或 $ t = \ln x $，则：$$ x y' = \frac{dy}{dt}, \quad x^2 y'' = \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt}, \quad x^3 y''' = \frac{d^3y}{dt^3} - 3\frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} $$代入后化为常系数线性微分方程。
例：$ x^2 y'' + 4x y' + 2y = 0 $，令 $ x = e^t $，得：$$ \frac{d^2y}{dt^2} + 3\frac{dy}{dt} + 2y = 0 $$特征方程 $ r^2 + 3r + 2 = 0 $，根 $ r = -1, -2 $，通解 $ y = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} = \dfrac{C_1}{x} + \dfrac{C_2}{x^2} $。