我不行了，在我草稿箱里躺了2个月都没过违禁词

第八章 函数的单调性与极值

8.1 函数的单调性

8.1.1 单调性的判别法

定理：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导。

1. 若对任意 $x \in I$，有 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递增；
2. 若对任意 $x \in I$，有 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递减；
3. 若 $f'(x) \equiv 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上为常数函数。

几何意义：切线斜率为正则曲线上升，斜率为负则曲线下降。

注意：

• 该条件是充分条件，而非必要条件。例如 $f(x) = x^3$ 在 $x=0$ 处 $f'(0)=0$，但函数仍单调递增。
• 如果 $f'(x) \ge 0$（且等号只在孤立点成立），函数仍然单调递增。

8.1.2 单调区间的求法

步骤：

1. 确定函数的定义域；
2. 求出 $f'(x)$，找出 $f'(x) = 0$ 的点（驻点）和 $f'(x)$ 不存在的点；
3. 用这些点划分区间；
4. 在各区间内判断 $f'(x)$ 的符号，确定单调性。

例1：求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ 的单调区间。

解：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$
• 令 $f'(x) = 0$，得 $x = -1$ 或 $x = 3$

例2：求函数 $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$ 的单调区间。

解：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• $f'(x) = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$
• 当 $x = 0$ 时，$f'(x)$ 不存在

8.2 函数的极值

8.2.1 极值的定义

定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义。

• 若对该邻域内任意 $x \ne x_0$，都有 $f(x) < f(x_0)$，则称 $f(x_0)$ 为极大值，$x_0$ 为极大值点；
• 若对该邻域内任意 $x \ne x_0$，都有 $f(x) > f(x_0)$，则称 $f(x_0)$ 为极小值，$x_0$ 为极小值点。

注意：

• 极值是局部概念（某点附近的最大/小值）
• 最值是全局概念（整个定义域上的最大/小值）
• 极值点只可能在驻点或不可导点处取得

8.2.2 极值的必要条件（费马引理）

定理：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $x_0$ 是极值点，则 $f'(x_0) = 0$。

注意：$f'(x_0) = 0$ 是极值点的必要条件，但不是充分条件（如 $f(x) = x^3$ 在 $x=0$ 处 $f'(0)=0$，但不是极值点）。

8.2.3 极值的第一充分条件

定理：设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，在 $x_0$ 的某去心邻域内可导。

记忆口诀：左增右减为极大，左减右增为极小。

8.2.4 极值的第二充分条件

定理：设 $f'(x_0) = 0$，且 $f''(x_0)$ 存在。

• 若 $f''(x_0) > 0$，则 $x_0$ 是极小值点；
• 若 $f''(x_0) < 0$，则 $x_0$ 是极大值点；
• 若 $f''(x_0) = 0$，则无法判断（需要更高阶导数或第一充分条件）。

直观理解：

• $f''(x_0) > 0$ → 曲线凹（碗口朝上）→ 谷底 → 极小值
• $f''(x_0) < 0$ → 曲线凸（碗口朝下）→ 峰顶 → 极大值

8.2.5 求极值的步骤

1. 确定定义域，求出 $f'(x)$；
2. 找出所有驻点（$f'(x)=0$）和不可导点；
3. 用第一充分条件（列表判断导数符号）或第二充分条件（计算二阶导）判定；
4. 计算极值点的函数值。

例3：求 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ 的极值。

解（第一充分条件）：

• 由例1知 $f'(x) = 3(x-3)(x+1)$，驻点 $x = -1$，$x = 3$

• $f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$（极大值）
• $f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$（极小值）

例4：求 $f(x) = x^4 - 4x^3$ 的极值。

解（第二充分条件）：

• $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$，驻点 $x = 0$，$x = 3$
• $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)$
• $f''(3) = 12 \times 3 \times 1 = 36 > 0$，故 $x=3$ 是极小值点，$f(3) = 81 - 108 = -27$
• $f''(0) = 0$，第二充分条件失效，用第一充分条件：
  • $x < 0$ 时，$f'(x) = 4x^2(x-3) < 0$（因为 $x-3<0$）
  • $0 < x < 3$ 时，$f'(x) < 0$
  • 左右两侧导数同号，故 $x=0$ 不是极值点

8.3 函数的最值

8.3.1 闭区间上连续函数的最值

定理：闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数 $f(x)$ 一定存在最大值和最小值。

求法：

1. 求出 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内的所有驻点和不可导点；
2. 计算这些点以及端点 $x = a$、$x = b$ 处的函数值；
3. 比较这些值，最大的为最大值，最小的为最小值。

例5：求 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$ 在 $[-2, 3]$ 上的最值。

解：

• $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)$
• 驻点：$x = -1$，$x = 2$（均在区间内）
• 计算函数值：
  • $f(-2) = -16 - 12 + 24 + 1 = -3$
  • $f(-1) = -2 - 3 + 12 + 1 = 8$
  • $f(2) = 16 - 12 - 24 + 1 = -19$
  • $f(3) = 54 - 27 - 36 + 1 = -8$
• 最大值：$f(-1) = 8$，最小值：$f(2) = -19$

8.3.2 开区间或无穷区间上的最值

• 若函数在区间内单调，最值在端点处取极限（可能不存在）；
• 若函数有唯一极值点，且该极值是极大（小）值，则它也是最大（小）值；
• 需要考察 $\lim_{x \to \text{端点}} f(x)$ 和 $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$。

8.4 综合应用

8.4.1 证明不等式

例6：证明当 $x > 0$ 时，$x > \sin x$。

证明：

• 令 $f(x) = x - \sin x$，则 $f(0) = 0$
• $f'(x) = 1 - \cos x \ge 0$（等号只在 $x = 2k\pi$ 处成立）
• 故 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增
• 当 $x > 0$ 时，$f(x) > f(0) = 0$，即 $x > \sin x$

8.4.2 证明方程根的个数

例7：证明方程 $x^3 - 3x + 1 = 0$ 在 $(0, 1)$ 内有唯一实根。

证明：

• 令 $f(x) = x^3 - 3x + 1$，$f(0) = 1 > 0$，$f(1) = -1 < 0$
• 由零点定理，至少存在一个根
• $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) < 0$ 对 $x \in (0, 1)$
• 函数在 $(0, 1)$ 上单调递减，故根唯一

8.4.3 实际问题的最值（优化问题）

例8：用一根长为 $L$ 的铁丝围成一个矩形，问如何围可使面积最大？

解：

• 设矩形长 $x$，宽 $\frac{L}{2} - x$，面积 $S(x) = x\left(\frac{L}{2} - x\right) = \frac{L}{2}x - x^2$
• $S'(x) = \frac{L}{2} - 2x$，令 $S'(x) = 0$，得 $x = \frac{L}{4}$
• $S''(x) = -2 < 0$，故 $x = \frac{L}{4}$ 是极大值点
• 此时宽也为 $\frac{L}{4}$，即围成正方形时面积最大

8.5 常见错误提醒

1. 混淆极值与最值：极值是局部的，最值是全局的
2. 忽略不可导点：极值点可能在 $f'(x)$ 不存在的点处（如 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$）
3. 误用第二充分条件：当 $f''(x_0)=0$ 时不能直接下结论，需用第一充分条件或更高阶导数
4. 忘记验证端点：求闭区间最值时端点必须考虑