第十章 泰勒公式与函数逼近

10.1 问题的提出：用多项式逼近复杂函数

10.1.1 为什么需要逼近？

在实际问题中，我们经常遇到像 $e^x$、$\ln x$、$\sin x$ 这样的函数，它们虽然形式简单，但直接计算函数值（比如 $e^{0.1}$）并不容易。

核心思想：用多项式 $P_n(x)$ 来近似代替复杂函数 $f(x)$，因为多项式只涉及加减乘除，计算机计算非常快。

10.1.2 线性逼近的回顾（一阶近似）

从微分学我们知道，在 $x = x_0$ 附近：

$$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$

这是用一次多项式（直线）逼近 $f(x)$，称为线性逼近或一阶泰勒多项式。

例子：$f(x) = e^x$ 在 $x = 0$ 附近，$e^x \approx 1 + x$

• 当 $x = 0.1$ 时，真实值 $e^{0.1} \approx 1.10517$，近似值 $1.1$，误差约 $0.005$
• 当 $x = 0.5$ 时，真实值 $e^{0.5} \approx 1.64872$，近似值 $1.5$，误差约 $0.149$（误差变大）

问题：如何得到更精确的逼近？答案是：用更高次的多项式！

10.1.3 二次逼近的直观理解

如果要求逼近精度更高，可以让多项式在 $x_0$ 处的函数值、一阶导数、二阶导数都相等：

$$P_2(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2$$

例子：$f(x) = e^x$ 在 $x = 0$ 处：

• $f(0) = 1$，$f'(0) = 1$，$f''(0) = 1$
• $P_2(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2$

当 $x = 0.5$ 时，$P_2(0.5) = 1 + 0.5 + 0.125 = 1.625$，真实值 $1.64872$，误差约 $0.024$，比线性逼近的 $0.149$ 好多了！

10.2 泰勒公式

10.2.1 泰勒中值定理（泰勒公式）

定理：若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数，则存在 $\xi$ 介于 $x$ 与 $x_0$ 之间，使得：

$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)$$

其中 拉格朗日余项：

$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}$$

理解：

• 泰勒公式 = 泰勒多项式 + 余项（误差）
• $n$ 越大，多项式次数越高，逼近越精确
• 余项 $R_n(x)$ 给出了用多项式近似 $f(x)$ 的误差大小

10.2.2 麦克劳林公式

当 $x_0 = 0$ 时，泰勒公式变成麦克劳林公式：

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}$$

这是最常用的形式。

10.2.3 佩亚诺余项（局部逼近）

如果只关心 $x \to x_0$ 时的局部性质，可以用佩亚诺余项：

$$R_n(x) = o((x - x_0)^n) \quad (x \to x_0)$$

意思是误差比 $(x - x_0)^n$ 更快地趋于 $0$。

此时：$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n)$$

10.3 五个常用函数的麦克劳林公式

10.3.1 $e^x$

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \frac{e^{\xi}}{(n+1)!}x^{n+1}$$

特别地，当 $n \to \infty$ 时，得到幂级数展开（将在级数章节详细介绍）。

10.3.2 $\sin x$

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + R_{2n}(x)$$

10.3.3 $\cos x$

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + R_{2n+1}(x)$$

10.3.4 $\ln(1 + x)$（$x > -1$）

$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + R_n(x)$$

10.3.5 $(1 + x)^\alpha$（二项式展开）

$$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + R_n(x)$$

特例：

• $\alpha = -1$：$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^n x^n + \cdots$
• $\alpha = \frac{1}{2}$：$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \cdots$

10.4 泰勒公式的应用

10.4.1 近似计算与误差估计

例1：用三阶泰勒多项式近似计算 $e^{0.2}$，并估计误差。

解：

• $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{e^{\xi}}{4!}x^4$，其中 $\xi \in (0, 0.2)$
• $P_3(0.2) = 1 + 0.2 + \frac{0.04}{2} + \frac{0.008}{6} = 1 + 0.2 + 0.02 + 0.001333 = 1.221333$
• 真实值 $e^{0.2} \approx 1.221403$
• 误差 $|R_3| = \left|\frac{e^{\xi}}{24} \times (0.2)^4\right| < \frac{e^{0.2}}{24} \times 0.0016 < \frac{1.23}{24} \times 0.0016 \approx 0.000082$

10.4.2 求极限（泰勒展开法）

例2：求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$。

解：

• $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$
• $\sin x - x = -\frac{x^3}{6} + o(x^3)$
• 原式 $= \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = -\frac{1}{6}$

对比洛必达法则：泰勒展开更直接，尤其对于复杂表达式。

例3：求 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{\cos x - 1}$。

解：

• $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，故 $e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + o(x^2)$
• $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，故 $\cos x - 1 = -\frac{x^2}{2} + o(x^2)$
• 原式 $= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{-\frac{x^2}{2} + o(x^2)} = \frac{1/2}{-1/2} = -1$

10.4.3 证明不等式

例4：证明当 $x > 0$ 时，$e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$。

证明：

• 由泰勒公式 $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{e^{\xi}}{6}x^3$，其中 $\xi \in (0, x)$
• 当 $x > 0$ 时，$\frac{e^{\xi}}{6}x^3 > 0$
• 故 $e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$

10.4.4 高阶导数的计算

例5：设 $f(x) = e^{2x}\sin x$，求 $f^{(n)}(0)$。

解：

• 先写出 $f(x)$ 的麦克劳林展开
• $e^{2x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2x)^k}{k!}$，$\sin x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m+1}}{(2m+1)!}$
• 相乘后，$x^n$ 的系数就是 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$
• 通过比较系数可得 $f^{(n)}(0)$（具体计算略）

10.5 综合例题

例6：写出 $f(x) = \ln(1 + \sin x)$ 的麦克劳林展开到 $x^4$ 项。

解：

• $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4)$
• 令 $u = \sin x$，则 $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \frac{u^4}{4} + o(u^4)$
• 逐项代入：
  • $u = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4)$
  • $u^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + o(x^4)$
  • $u^3 = x^3 + o(x^4)$
  • $u^4 = x^4 + o(x^4)$
• 整理：$$\ln(1+\sin x) = \left(x - \frac{x^3}{6}\right) - \frac{1}{2}\left(x^2 - \frac{x^4}{3}\right) + \frac{1}{3}(x^3) - \frac{1}{4}(x^4) + o(x^4)$$$$= x - \frac{x^2}{2} + \left(-\frac{1}{6} + \frac{1}{3}\right)x^3 + \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{4}\right)x^4 + o(x^4)$$$$= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} - \frac{x^4}{12} + o(x^4)$$

例7：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x \sin x - x(1+x)}{x^3}$。

解：

• $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
• $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4)$
• 相乘：$$e^x \sin x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\right)\left(x - \frac{x^3}{6}\right) + o(x^4)$$$$= x - \frac{x^3}{6} + x^2 - \frac{x^4}{6} + \frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{12} + \frac{x^4}{6} - \frac{x^6}{36} + o(x^4)$$保留到 $x^3$：$$= x + x^2 + \left(-\frac{1}{6} + \frac{1}{2}\right)x^3 + o(x^3) = x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$$
• 分子：$e^x \sin x - x(1+x) = \left(x + x^2 + \frac{1}{3}x^3\right) - (x + x^2) + o(x^3) = \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$
• 原式 $= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}x^3 + o(x^3)}{x^3} = \frac{1}{3}$

10.6 常见错误提醒

1. 余项阶数不够：展开到 $x^n$ 项时，余项至少是 $o(x^n)$，否则会导致极限计算错误
2. 复合函数展开时忽略高阶项：设 $u = g(x)$，展开 $f(u)$ 时，$u$ 的表达式必须展开到足够高的阶数
3. 混淆 $x_0$ 的位置：泰勒展开一般是在某个点附近展开，不是所有展开都是 $x_0 = 0$
4. 忽略收敛范围：泰勒多项式是局部逼近，离 $x_0$ 越远误差越大；完整的泰勒级数有收敛半径