由于上一个更高数的人一直拖更，拖到好好学习，天天向上去了也没更新，智英$\sout{兴高采烈}$勉为其难地来讲高数了

目录按照智英听课用的教材《数学分析讲义》来写，名为数学分析，其实前两册难度并不比其他大学通修的高数要高，难点集中在第三册

话不多说，开始上干货

第一章 极限

第一节 实数

关于实数是什么，讲义中用了十进制小数进行初步的解释。不过我坚定地认为，十进制小数并不是一种很好的实数表示方式。原因有二：

①小学生的死亡之问：$0.\dot{9}$ 和 $1$ 是否相等？（这个问题我们放在第十四章解释）

②为什么非得是十进制？你是不是看不起二进制，三进制，……？

鉴于看这个帖的人，应该能对实数有一些基本的认识，这里就不对这些东西做解释了。如果有人要刨根问底，问“实数到底是什么”，或者强行要求解释上述小学生死亡之问，我就只好告诉他 $\R=C(\mathbb Q)/\sim$ ，其中 $C(\mathbb Q)=\{x\in \mathbb Q^\infty~|~x$是柯西列$\}$ ，然后罚他自己去看第十四章。作为第一章第一节，这里也没必要再讨论下去了。

这一节主要是准备性工作，所以有大量概念和结论的罗列。不建议跳过，因为这里的东西到后面都要用到。

实数有一条重要的性质：完备性公理。表述如下：

若 $A,B\subseteq \R$ ，且 $\forall a\in A, ~b\in B$ ，均有 $a\le b$ ，那么存在 $c\in\mathbb R$ ，使得对任意的 $a\in A, ~b\in B$ ，有 $a\le c\le b$ 。

记住这条公理，后面要考。

有理数在实数集内具有稠密性：

若 $a, b\in \R$ ， $a \lt b$ ，则 $\exists c\in \mathbb Q$ ，使得 $a\lt c\lt b$ 。

证明依旧等到第十四章。

实数与直线上的点一一对应，由此，我们有了数轴的概念，并据此引入了绝对值：

$|a|=\begin{cases}a, &a\ge 0\\-a, &a\lt 0\end{cases}$ 。

绝对值满足如下几条性质：

①正定性： $|a|\ge 0$ ，取等当且仅当 $a=0$ ；

②对称性： $|a-b|=|b-a|$ ；

③三角不等式： $|a|+|b|\ge |a+b|$ 。

这三条性质也是定义“距离”的三个要素。后面在引入 $\R^n$ 之后，我们会对此有更深刻的认识。

在实数集上，我们可以定义一些特殊的子集（以下均有 $a\lt b$ ）：

闭区间： $[a,b]=\{x\in\R~|~a\le x\le b\}$ ；

开区间： $(a,b)=\{x\in\R~|~a\lt x\lt b\}$；

半开半闭区间： $(a,b]=\{x\in\R~|~a\lt x\le b\}$ ， $[a,b)=\{x\in\R~|~a\le x\lt b\}$ ；

无穷区间： $(a,+\infty)=\{x\in\R~|~x\gt a\}$ ， $[a, +\infty)=\{x\in\R~|~x\ge a\}$ ，

 $(-\infty,a)=\{x\in\R~|~x\lt a\}$ ， $(-\infty,a]=\{x\in\R~|~x\le a\}$ ，

 $(-\infty,+\infty)=\R$ （这个记号基本不会用，但我们也确实认为它是区间）。

此外，为了后续概念的引入，我们定义邻域与去心邻域：

 $N(x_0,\delta)=\{x\in\R~|~|x-x_0|\lt \delta\}$ ，

 $N^\circ(x_0,\delta)=\{x\in\R~|~0\lt |x-x_0|\lt\delta\}=N(x_0,\delta)\setminus\{x_0\}$ 。

铺垫工作已经完成，下一节开始，就将正式进入高数的内容了。

第二节 数列极限

极限是什么？

对于任意的 $\varepsilon \gt 0$ ，存在……

不，我说的不是这个“极限”。“极限”这个词，在日常生活中指什么意思？

比如说，“这个分数已经是我的极限了……”“人体能承受的压力极限是……”

很明显有一种“尽全力之后，只能达到（或不断接近）……”的含义。

那什么是数列的极限？

套公式答题：就是数列“尽全力”之后，只能达到（或者不断接近）的那个数。

或者说，如果下标不断增大，趋向无穷，那么数列最终只能达到或不断接近一个数，这个数就是数列的极限。

比如，如果我们不断把 $1$ 二等分，可以得到一个等比数列：

 $\displaystyle1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ...$

这个数列的项越来越接近 $0$ ，却无法达到。按这个概念， $0$ 就应该是它的极限。

文学家的工作结束了，下面是数学家的事。

什么是“不断接近”？差 $0.1$ 算不算？ $0.01$ 算不算？ $0.001$ ……

我们发现，你根本不能用一个确切的数定义“不断接近”。因为你挑任何一个正数，我都能举出来一个更小的正数，说“不，还不够接近”。

所以干脆一刀切，“对任意的 $\varepsilon \gt 0$ ，当 $n$ 趋于无穷时，数列第 $n$ 项与数列极限差的绝对值小于 $\varepsilon$”。

问题又来了：什么是“趋于无穷”？本质上是下标足够大。多大算足够大？

类似的情况又发生了。于是用同样的方法，“存在正整数 $N$ ，当 $n\gt N$ 时”。

这样的话，有的结论可能对于大于 $10$ 的数都成立，有的对大于 $100$ 的数成立，有的对大于 $1000$ 的数才成立。但只要我能找到这样的一个 $N$ ，我们都能说“对足够大的 $n$ ，结论成立”。

把上面的话连在一起，就是极限的定义：

对于实数列 $\{a_n\}$ 与实数 $L$ ，若对任意的 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N\in\N^*$ ，当 $n \gt N$ 时，总有 $|a_n-L|\lt \varepsilon$ ，则称 $L$ 为数列 $\{a_n\}$ 的极限，记作：

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L$

完美！