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三角恒等式与三角不等式的收录帖

所有能想到的三角恒等式和三角不等式都可以发在这里（已发过的除外）（如有任何错误欢迎指出🤧)

先来亿些：（正余弦定理就不列出来了）

三角恒等式：

1.$\sin (A+B)=\sin C, \sin (B+C)=\sin A, \sin(C+A)=\sin B$

$\cos (A+B)=-\cos C, \cos (B+C)=-\cos A, \cos (C+A)=-\cos B$

$\tan (A+B)=-\tan C,\tan (B+C)=-\tan A,\tan (C+A)=-\tan B$

2.$\sin\frac{A+B}{2}=\cos \frac{C}{2},\sin\frac{B+C}{2}=\cos \frac{A}{2},\sin\frac{C+A}{2}=\cos \frac{B}{2}$

$\cos\frac{A+B}{2}=\sin \frac{C}{2},\cos\frac{B+C}{2}=\sin \frac{A}{2},\cos\frac{C+A}{2}=\sin \frac{B}{2}$

$\tan\frac{A+B}{2}=\cot \frac{C}{2},\tan\frac{B+C}{2}=\cot \frac{A}{2},\tan\frac{C+A}{2}=\cot \frac{B}{2}$

3.$\cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C=1-2\cos A\cos B\cos C$

$\sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 C=2+2\cos A\cos B\cos C$

4.$\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C,\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1$

5.$\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{C}{2}\tan\frac{A}{2}=1$

6.$a=b\cos C+c\cos B,b=a\cos C+c\cos A,c=a\cos B+b\cos A$

三角不等式：

1.$A\gt B\Leftrightarrow a\gt b$

2.$锐角\Delta ABC中，恒有\sin A\gt\cos B$

3.$\sin A+\sin B+\sin C\le\frac{3\sqrt{3}}{2},\cos A+\cos B+\cos C\le\frac{3}{2}$

$\cos A\cos B\cos C\le\frac{1}{8},\sin A\sin B\sin C\le\frac{3\sqrt{3}}{8}$

$\sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 C\le\frac{9}{4},\cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C\ge\frac{3}{4}$

（注：以上“3.”条下的不等式均在$\Delta ABC$为等边三角形时取到等号）