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三角恒等式与三角不等式的收录帖

所有能想到的三角恒等式和三角不等式都可以发在这里（已发过的除外）（如有任何错误欢迎指出🤧)

$注：下文中R为\Delta ABC外接圆半径，r为\Delta ABC内切圆半径，S为\Delta ABC 的面积$

先来亿些：（正余弦定理就不列出来了）

$\LARGE{(1)三角恒等式}$

1.$\sin (A+B)=\sin C, \sin (B+C)=\sin A, \sin(C+A)=\sin B$

$\cos (A+B)=-\cos C, \cos (B+C)=-\cos A, \cos (C+A)=-\cos B$

$\tan (A+B)=-\tan C,\tan (B+C)=-\tan A,\tan (C+A)=-\tan B$

2.$\sin\frac{A+B}{2}=\cos\frac{C}{2},\sin\frac{B+C}{2}=\cos\frac{A}{2},\sin\frac{C+A}{2}=\cos\frac{B}{2}$

$\cos\frac{A+B}{2}=\sin\frac{C}{2},\cos\frac{B+C}{2}=\sin\frac{A}{2},\cos\frac{C+A}{2}=\sin\frac{B}{2}$

$\tan\frac{A+B}{2}=\cot\frac{C}{2},\tan\frac{B+C}{2}=\cot\frac{A}{2},\tan\frac{C+A}{2}=\cot\frac{B}{2}$

3.$\cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C=1-2\cos A\cos B\cos C$

$\sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 C=2+2\cos A\cos B\cos C$

$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$

$\sin A\sin B\sin C=\frac{R}{4r},\sin 2A+\sin2B+\sin 2C=\frac{2S}{R^2}$

$\cos A+\cos B+\cos C=1+\frac{r}{R}$

4.$\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C,\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1$

5.$\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{C}{2}\tan\frac{A}{2}=1$

$\cot\frac{A}{2}\cot\frac{B}{2}\cot\frac{C}{2}=\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2}$

6.$a=b\cos C+c\cos B,b=a\cos C+c\cos A,c=a\cos B+b\cos A$

$\huge{(2)三角不等式}$

1.$A\gt B\Leftrightarrow a\gt b$

2.$锐角\Delta ABC中，恒有\sin A\gt\cos B$

3.$\sin A+\sin B+\sin C\le\frac{3\sqrt{3}}{2},\cos A+\cos B+\cos C\le\frac{3}{2}$

$\cos A\cos B\cos C\le\frac{1}{8},\sin A\sin B\sin C\le\frac{3\sqrt{3}}{8}$

$\sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 C\le\frac{9}{4},\cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C\ge\frac{3}{4}$

$\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C\ge -\frac{3}{2},\cos\frac{A}{2}+\cos\frac{B}{2}+\cos\frac{C}{2}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}$

（注：以上“3.”条下的不等式均在$\Delta ABC$为等边三角形时取到等号）

$\huge{(3)切比雪夫多项式}$

1.第一类切比雪夫多项式

$T_n(x)=\cos (n\arccos x),x\in [-1,1]$

递推公式：$T_0(x)=1,T_1(x)=x,T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x),n\in\mathbb{N}_{+}$

通项：$T_n(x)=\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}\binom{n}{2k}(x^2-1)^kx^{n-2k}$

2.第二类切比雪夫多项式

$S_n(x)=\frac{\sin ((n+1)\arccos x)}{\sin (\arccos x)},x\in [-1,1]$

递推公式：$S_0(x)=1,S_1(x)=2x,S_{n+1}(x)=2xS_n(x)-S_{n-1},n\in\mathbb{N}_{+}$

通项：$S_n(x)=\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}\binom{n-k}{k}(2x)^{n-2k}$