物理

神秘机构题

1. 考虑一个建立于 $xOy$ 坐标系下的抛物线 $y = ax^2$，其上放置一个半径为 $r$ 的匀质圆盘，假设两者之间的摩擦系数充分大以至于可以保持圆盘在抛物线上纯滚。（15分）

a. 以圆盘与抛物线接触点的坐标 $(x,y)$ 以及接触点与原点之间沿抛物线上的长度 $s$ 标记圆盘位置，（即，答案中可以包含 $x,y,s$）写出此时圆盘的动能 $T$（3分）

b. 写出此时系统的势能 $V$（2分）

c. 讨论各种情形下圆盘的平衡位置及其稳定性（6分）

d. 算出稳定平衡下系统的振动角频率 $\omega$（认为圆盘可光滑地越过 $x=0$ 处，即不考虑碰撞以及速度的不连续变化所导致的能量损失）（4分）

2. 我们为了获得一个圆盘中心位置不在 $x=0$ 处的平衡态，可以考虑让抛物线旋转起来，形成一个旋转抛物面，并令该抛物面以

$\omega = \alpha (2ga)^{1/2}$ 绕 $y$ 轴旋转（7分）

a. 写出此时系统的势能 $V'$ （1分）

b. 导出关于此时系统平衡位置 $x_1$ 的平衡方程 （3分）

c. 讨论对于 $a = 1/4r$ 且 $\alpha = \sqrt{2}$ 下不同平衡位置的稳定性 （3分）

3. 为了在满足 2.c. 的条件下在 $x=0$ 处仍能存在小振动以及得到其它平衡位置，我们以某种机制使得圆盘相对于转动的抛物面有且仅有一个大小恒定为 $\Omega = \beta (2ga)^{1/2}$（$\beta > 0$），方向沿着接触点法向的自转角速度 $\Omega$（自行判断 $\Omega$ 的方向）（8分）

a. 写出此时系统的势能 $V''$ （2分）

b. 写出包含此时系统平衡位置 $x_2$ 坐标的平衡方程 （3分）

c. 对于 $\beta = 1$ 讨论稳定性。 （3分）

（注意对于此题，你不应考虑由于速度方向的突然变化所导致的能量损失，也不应考虑是否存在何种机制使得圆盘的角速度方向沿其接触点的法向，即仅考虑旋转所导致的额外能量）

二、声子通过量子涨落在真空中的传热（80分）

固体中的热传递通常通过电子或称为声子的原子振动进行。在真空中，由于缺乏介质，人们一直认为热量是通过辐射而不是声子传递的。但是，最近理论已经预测，电磁场的量子波动可能诱导声子耦合穿过真空，从而进行传热。在这里，我们将计算由真空间隔开的两个物体之间的量子涨落引起的热传递。

与热传递有关的这些影响之一是卡西米尔力，这是由真空间隙隔开的两个中性原子彼此作用的力。当量子涨落在这些原子中引起波动的电荷密度时，电荷密度然后通过它们的电场相互作用，就会产生卡西米尔力。将壁虎的脚粘到墙上的力是卡西米尔力宏观体现的一个例子。它是由于在所有情况下波动的电荷密度之间的相互作用共同产生的。

1. 先考虑经典情形下的一个类似问题。（30分）

a. 考虑一个沿 $x$ 轴放置，在张力为 $T$ 下，质量线密度为 $\mu$ 的均匀细弦，$x=0$ 处有一个质量为 $m$ 的静止质点，正弦横波

$\psi = A\cos(kx - \omega t)$ 沿 $x$ 方向入射，求出其透射波与反射波。（11分）

b. 求出 a. 中质点于 $x$ 方向受到的平均净作用力。（3分）

c. 相较于 a. 中模型，于 $x=a$ 处再加入一个质量同为 $m$ 的质点，引入记号 $z = \omega a \sqrt{\frac{\mu}{T}}$ 以及 $\beta = \frac{m}{\mu a}$ ，其他条件不变，求出此时两质点的平均受力 $F_1$ 与 $F_2$，以及两者之间的“相互作用力” $F_c = \frac{1}{2}(F_1 - F_2)$，并得出 $\beta z >> 1$ 及 $\beta z << 1$ 下的极限。（16分）

2. 再考虑量子效应。（20分）

在卡西米尔（Casimir）进行的原始计算中，他考虑了一对间距为 $a$ 的无穷大导电金属板。在这种情况下，金属板间可能形成的驻波特别容易计算，因为电场的横向分量必须在导体表面上消失。

a. 假设板平行于 $xOy$ 平面，则驻波沿 $z$ 方向，考虑到所有可能的模式后，计算极板间的总能量 $E_T$。（此问仅需写出 $E_T$ 的求和表达式）（10分）

b. 注意到金属在高频下并不是一个良导体，再进一步假设任何指数平滑的高频截止都能产生相同的结果，因此采用指数调节 $e^{-n/n_c} = e^{-n/n_c}$ 不会造成任何影响。其中 $n_c$ 为截止模数，使得对于与其对应的波数 $k_c$ 模式对总能量的贡献下降 $e$ 倍，算出由 $k_c$ 表达的总能量 $E_T$。（8分）

c. 据 b. 中结果求出两极板间相互作用力 $F$。（当然，$k_c$ 为与金属板性质相关的一个常数）（2分）

3. 声子传热。（30分）

请考虑通过与热源保持接触来将其保持在特定温度的两个无穷大固体界面。物体原子的热运动（可以认为是通过弹性弹簧相互连接）产生了声子振子 $m_z = \rho a$，其中 $\rho$ 为固体密度，$a$ 为等效声子振子距离。在这些声子的作用下，一个对象接近另一个对象时，由于与其表面的起伏相互作用而受到时变的吸引力 $F$ 的作用，由第一部分的两种极限，我们假设 $F = \frac{C}{h^3}$，并有 $C$ 为某一常量，$h$ 为两界面距离。则对应有真空中 $\gamma' = h \frac{dF}{dh}$，因此，第二个界面受到拉力作用，从而在固体的内部产生声子。因此，声子从第一个界面传输到第二个界面。由于声子是热载体，当卡西米尔力将声子通过真空间隙从一个界面（具有模量 $\gamma_-$ 声速 $c_-$）传输到另一个界面（$\gamma_+$，$c_+$）时，如果第二个界面保持在比第一个界面更低的温度，它们就会引起热传递。

在经典情形下的德拜模型中，占据某些区域的固体中的热载流子可以用与位移矢量场 $\xi(r,t)$ 有关的声压场 $p(r,t)$ 来表示，其中声压场为表征固体内部波动的一个函数，满足波动方程 $\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 p}{\partial x^2}$，声子所携带的能量亦可用声压场来表征。两振子间受力满足 $F = \gamma \frac{\partial \xi}{\partial x}$，$\rho \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = -\nabla p$，其中 $\gamma$ 为弹性模量。一束声子波以 $\theta_-$ 自前一界面入射，$\theta_+$ 自后一界面出射时，求出热流透射系数 $\kappa$。（提示：先写出振子的运动方程再推出关于 $p$ 的微分方程）

三、万有引力下的耦合振动（40分）

有三个质量均为 $m$ 的质点 $A,B,C$，初态位于同一水平面内，构成一边长为 $r_0$ 的正三角形，绕位于三角形中心处作匀速圆周运动，忽略重力

（1）求 $A,B,C$ 绕中心 $O$ 的转动角速度（2分）

（2）由于微扰，$A,B,C$ 将在（1）的基础上做小振动，试求 $A$ 受到微扰后的体系的简正模式，如果不可能振动，写出理由即可（38分）

四、增加的质量（40分）

物体在液体中运动时将导致流体也产生运动。流体的运动将为系统的总动能做出贡献，并导致物体的质量增加为“有效质量”。有效质量与真实质量之间的差成为“增加的质量”。增加的质量依赖于物体的尺寸和形状。对于该问题不会出现湍流。

考虑一个体积为 $V$、并且沿着其对称轴 $x$ 方向极化率为 $\alpha$ 的金属物体（此处极化率 $\alpha$ 意味着若将其置于匀强外场 $\vec{E}$，物体内部将产生偶极矩 $\vec{p} = \alpha \vec{E}$）。另外，物体被制成某种形状使得它如果由均匀的介电材料制成并放入匀强外场下，其内部的电场也是均匀的。

1. 将这个物体放入初始状态为静止的、不可压缩的、密度为 $\rho$ 的无粘性流体内部，当物体沿 $x$ 轴平动时，求出其增加的质量。指定用系统动能变化求解。（20分）

2. 指定用物体受力求解 1。（10分）

3. 将质量为 $m$ 的上述物体放入一个处处以角速度 $\vec{\omega}$ 旋转的漩涡中，距离漩涡中心为 $a$，此问中物体为关于 $\vec{\omega}$ 方向旋转对称，不考虑重力，试算出物体运动方程。（7分）

4. 接 3. 此问中物体是一个球，重力加速度为 $g$，且满足 $\vec{g} \parallel \vec{\omega}$，再次算出物体运动方程。（3分）

去五、导体球在外电场下的振动（40分）

有一无穷大光滑平面 $xOy$，其上有沿 $x$ 方向的匀强电场 $E_0$。有两个金属球，质量均为 $M$，半径均为 $R$，被一长为 $L \gg R$ 的长直刚性无质量细杆连接起来。

1. 仅考虑体系能量中的两个偶极子的相互作用能项，并依此计算体系振动角频率 $\omega_1$。（5分）

2. 将外电场变为交变电场 $\vec{E} = E_1 \cos\Omega_1 t\,\hat{x} + E_2 \cos\Omega_2 t\,\hat{y}$，且 $\Omega_1, \Omega_2 \gg \omega$，其中 $\omega$ 为对应于前几问中的 $\omega_1$ 与 $\omega_2$。求出此时系统平衡位置及振动角频率。（35分）

六、Antares Snipe 天蝎一射（OCT）（50分）

「天蝎一射」Antares Snipe 化为射手座的喀戎始终瞄准着天蝎这个故事的具现化。能够穿透星辰这种弓兵能到达的究极一击。在解放真名时即可发射，不是由弓，而是由星辰射出的流星一击。就连以神速著称的阿喀琉斯也无法回避这个宝具。虽说存在一晚只能使用一次的负面效果，但只要不错过时机，就不会放跑目标。

1. 众所周知，神代的世界是以地球为中心的，且各个天体固定在宇宙中，所以此问我们选取地球为参考系（此时地球不转）。因为射手座始终瞄准着天蝎座，所以射手座应当具有着至少能射中天蝎的能力。假设十二星座存在于以地球为中心，半径 $R = 2R_E$ 的圆环上。同样，既然射手座与天蝎座只差一个月，我们假设其角距离为 $30^\circ$，求射手座发射箭矢的最低速度（并假设以后几问的发射速度均为此速度）。（5分）

2. 现在喀戎被 Master 要求射向一个与其圆环在同一平面内的一个敌人，这个人在地球表面上，与其经度相差 $30^\circ$，求当喀戎的箭对准敌人发射时，实际到达的地方与人的距离（以经度表示）（10分）

3. 根据现代的天体魔术知宇宙不是以地球为中心的，喀戎具有[神授的智慧A+]，当然知道地球会有自转，（注意喀戎固定在宇宙中），假设地球在下图所示的情况下是逆时针旋转，求此时所造成的实际偏差（以经度表示）（15分）

4. 既然我们的马老师那么好用的弓具马，他怎么会偏呢？所以我们要考虑到现代的天体魔术，仍是一开始的那个敌人，求出此时喀戎的发射角度 $\beta$ 才能击中敌人（精确到 $1^\circ$）（15分）

地球半径为 $R_E = 6.378 \times 10^6 m$， 地球质量 $M_E = 5.965 \times 10^{24} kg$

七、Enuma Elish 世人啊，翼以锁系神明（40分）

「世人啊，翼以锁系神明」Enuma Elish 将恩奇都自己的身体变成一件神造兵器。化为用庞大能量变换而成的楔子，贯穿、固定对象。下落的锁链这一问题难倒了小恩，祂竟然不知道自己下落时的速度会是怎样的，也不知道自己下落的时候会造成多强的伤害。。所以我们来算一下几个问题。（解答当然不限于使用描述的方法）

一般而言一个保守体系的拉格朗日函数为 $L = T - V$，其中 $T$ 为研究对象的动能，$V$ 为研究对象的势能，则我们将有体系的动力学方程

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}$

其中 $q$ 为被选取的某一个用来描述系统运动的坐标，然而对于质量发生变化的体系便不是如此了，此时将存在一个外部的动量流

$M_q = \dot{m}u - \frac{1}{2}\frac{\partial m}{\partial q} v^2$

其中 $m$ 是研究对象的质量，$u$ 是新的质量块进入体系的速度，$v$ 是研究对象 $m$ 的运动速度，则有此时的动力学方程

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q} + Q_q$

1. 考虑图 a. 中的情形，锁链总长度为 $L$，初始时全部在孔的上方，考虑两种解法

1) 考虑锁链的全部，即把锁链整体当作研究对象，得出此时末端的加速度 $\ddot{x}$

2) 仅考虑部分 I，将其受到部分 II 给的拉力 $\tau$，即此时有

$Q_q = M_x - \tau$

得出 $\tau$，并得出此时末端的加速度 $\ddot{x}$

2. 恩奇都被英雄王吉尔伽美什誉为最强之人，连接天与地之锁。所以不能认为祂是软的。考虑到锁链击打到地面上，锁链的一端击中地面时，会导致旋转，给其他部分一个向下的拉力，设为 $\beta x^2$。锁链总长度为 $L$，初始时下端刚好接触水平面

1) 计算得出 $x^2$ 与下落距离 $x$ 的关系，应当注意到击打到地面时还将受到地面的回复力 $R$。（如图 b.）

2) 求出此时的能量损耗 $E$，并得出 $\beta$ 的范围（$\beta$ 的真实值为 $1/6$）

3. 如图 c. 所示，初始时锁链的两端被置于同一高度，释放右端锁链，你应当认为转折处是存在张力的，计算得出 $x^2$ 与下落距离 $x$ 的关系

4. 如图 d. 所示，小恩从高台上起飞，在到达极高点后跌落到地上，锁链总长为 $L$，达到平衡状态时拱起高度为 $h_{em}$，各种力以及已知量已在图中标出，解出此时的锁链的形状参数 $r = h / H$