物理 『数字的魅力』数学中那些美丽的巧合
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数学是一门理性的学科，他的抽象美令人着迷，落笔记叙一二与君共赏
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一、142 857
这个六位数看起来外貌平平，我们一眼就能看出来它可以被3整除，加一些小技巧可知它可以被11整除，若君天赋异禀还可以一眼看出来它还是37和13的倍数。
但如果它的性质就这些，那远远算不上"美"，思考片刻，你决定把它乘2
285 714
很可惜，这个数字似乎也没有什么特殊之处…
一不做二不休，你继续把它乘三！
428 571
你感觉好像哪里怪怪的但是说不上来…
乘四！乘五！乘六！
571 428
714 285
857 142
似乎突然意识到了什么，你将这些数字写在一起
1 142 857
2 285 714
3 428 571
4 571 428
5 714 285
6 857 142
一时间你兴致大起，迫不及待地计算乘七的积
999 999
计算机上这行数字让你愣了一下，此刻，艺术已成。
解析:142 857的这些倍数共用了这几个数字，只是改变了顺序，给人一种走马灯的错觉
若仅仅是这样，还并不够精彩，当你将任意一个数的前三位与后三位相加时，你会惊讶地发现，他们的和也是999
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（未完待续，欢迎投稿）
部分精彩投稿展示，按时间顺序排列，若有缺失可能是白芥粗心导致，绝不是君写的不好
- 对于斐波那契数列，前一项和后一项的比趋近于0.618(黄金分割比)
- $985^2-211^2$=917813+7891
- $sin^2x+cos^2x=1$,而$cosh^2x-sinh^2x=1$
- 76923*3=230769 230769*3=692307(类似142857的轮换对称)
- 1
1.不管是从哪两个数开始，按照斐波那契数列的规则递推下去，最终后一项与前一项的比总会趋近于黄金分割$\varphi$
2.$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$
3.圆的面积$S=\pi R^2,将S对R求导得到2\pi R$，即圆的周长
同样的，球的体积$V=\frac{4}{3}\pi R^3,求导得到4\pi R^2,即球的表面积(求导\rightarrow降维？)$
注：1.这两个数除了0,0以外任意取(可以仅有一个是0)
补充一个：$e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\cdots}}}$
要说数学的美，欧拉必须榜上有名
$e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin\theta$
牛顿-莱布尼茨也不能少
若 $F'(x)$ 在 $[a,b]$ 可积，则 $\displaystyle \int_a^bF'(T)\mathrm dt=F(b)-F(a)$
其实高斯和斯托克斯也很优美，大半夜的先不写了
打错一个，中间的T应为t
我在《可视化微分几何与形式》里面翻到了一个理论叫做牛—莱，格林，高斯，斯托克斯都是外微分基本定理（好像是这么个名）的特例的说法
但是现在书在学校，那一块我也还没看到
虽然但是，微分几何可不是什么好玩的东西（手动狗头
微分几何不就是加了点物理竞赛解析几何吗😧
其实就叫一般的Stokes公式
补上面评论区的内容，超过1000字符了发不了评论，只能发回复了
单就1/19而言，其实也不用全算出来。
以下仍然是推导，看结论直接到最后
我们刚才说明了，奇素数 $p$ 是走马灯数当且仅当 $10$ 是 $p$ 的原根。
这就意味着，$\forall1\le x\le p-2, p\nmid 10^x-1$。
考虑 $p\neq 5$。由费马小定理，$p\mid 10^{p-1}-1$，
假设 $10$ 不是 $p$ 的原根，设 $p\mid 10^x-1$，$1\le x\le p-2$，
则由Bezout定理，存在 $m,n\in \Z$，使得 $m(p-1)+nx=\gcd(p-1,x)$。
从而 $10^{\gcd(p-1,x)}\equiv (10^{p-1})^m\cdot(10^x)^n\equiv 1^m\cdot 1^n\equiv 1(\mod p~~)$。
显然 $\gcd(p-1,x)\mid p-1$，
且由于 $1\le x\le p-2$，有 $\gcd(p-1,x)\le x\le p-2\lt p-1$。
从而 $\gcd(p-1,x)\neq p-1$。故存在 $k\in \N^*$ 且 $k\ge 2$，使得 $k\gcd(p-1,x)=p-1$。
此时 $k$ 存在素因数 $q$，则 $\gcd(p-1,x)\mid\displaystyle\frac{p-1}{q}$。
设 $\displaystyle\frac{p-1}{q}=l\cdot \gcd(p-1,x)$。
则 $\displaystyle10^{\frac{p-1}{q}}\equiv(10^{\gcd(p-1,x)})^l\equiv1^l\equiv 1(\mod p~~)$。
$\color{red}{\LARGE{以下是结论}}$
故若 $p$ 不是走马灯数，则存在一个 $p-1$ 的素因子 $q$，
使得 $\displaystyle 10^{\frac{p-1}{q}}\equiv1(\mod p~~)$。
取逆否，知若所有 $p-1$ 的素因数 $q$ 都满足 $p\nmid 10^{\frac{p-1}{q}}-1$，则 $p$ 是走马灯数。
对于 $p=19$ ，由于 $18$ 的素因数仅有 $2,3$，我们只需考虑 $10^6$ 和 $10^9$ 除以19的余数。
$10^3\equiv 1000\equiv 950+38+12\equiv 12(\mod 19~~)$；
$10^6\equiv 12^2\equiv 144\equiv 133+11\equiv 11(\mod 19~~)$；
$10^9\equiv 11\times 12\equiv 132\equiv18(\mod 19~~)$。
从而 $10^6$ 和 $10^9$ 除以 $19$ 的余数都不为 $1$，故19是走马灯数。
当然，19本身不算特别大，因此还可以通过观察循环节得到结果。但对于更大的数，这一方法就要快捷的多。而且其还可以用于设计程序，时间复杂度应为 $O(\sqrt{p})$（主要是分解素因数需要的时间，计算乘方的时间复杂度要小得多）
花了一个小时左右写了一个程序，对于特定的某个数，时间复杂度应该是 $O(\sqrt p)$，若要求小于某个数的全部走马灯数，时间复杂度是 $O(\frac{n^\frac32}{\log^2 n})$。
这么强?！
但是恁俩是不是搞错了，空间复杂度是O，时间复杂度是⊙
楼主的这个时间复杂度也不是⊙(根号p)吧，是不是算错了?
蒟蒻不才，许久未接触时空复杂度，如有错误，还望指正
(有兴趣看看我出的空间复杂度的题?)
我们好像没有这个习惯，空间和时间复杂度都混用
sqrt p是因为分解p-1质因数要这么多时间！如果只考虑快速幂当然不用这么多！
明白了，感谢
