物理

[微积分的那些事]-第二回目：微分学-第九章：曲线的凹凸性与拐点

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9.1 曲线的凹凸性

9.1.1 凹凸性的直观理解

观察函数 $y = x^2$ 和 $y = \sqrt{x}$（$x \ge 0$）的图像：

• $y = x^2$ 的图像是向下弯曲的（像碗口朝上），我们称之为凹（concave up）；
• $y = \sqrt{x}$ 的图像是向上弯曲的（像拱形），我们称之为凸（concave down）。

但不同教材对“凹凸”的命名正好相反！本书采用如下定义（与大多数高等数学教材一致）：

9.1.2 凹凸性的定义

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，对 $I$ 上任意两点 $x_1$，$x_2$（$x_1 < x_2$）：

• 若恒有 $f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \le \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上是凹的（concave up）（曲线位于弦的下方）；
• 若恒有 $f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \ge \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上是凸的（concave down）（曲线位于弦的上方）。

记忆技巧：

• 凹函数（$\cup$ 形）：$f''(x) > 0$，碗口朝上
• 凸函数（$\cap$ 形）：$f''(x) < 0$，碗口朝下

9.1.3 二阶导数与凹凸性的关系

定理（凹凸性判别法）：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上具有二阶导数。

1. 若对任意 $x \in I$，有 $f''(x) > 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是凹的；
2. 若对任意 $x \in I$，有 $f''(x) < 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是凸的。

直观解释：

• $f''(x) > 0$ 意味着 $f'(x)$ 单调递增，切线斜率越来越大，曲线越来越陡，形成 $\cup$ 形；
• $f''(x) < 0$ 意味着 $f'(x)$ 单调递减，切线斜率越来越小，曲线越来越平缓，形成 $\cap$ 形。

例1：判断函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ 的凹凸性。

解：

• $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$
• $f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$
• 当 $x > 1$ 时，$f''(x) > 0$，曲线为凹；
• 当 $x < 1$ 时，$f''(x) < 0$，曲线为凸。

例2：判断函数 $f(x) = \ln x$（$x > 0$）的凹凸性。

解：

• $f'(x) = \frac{1}{x}$
• $f''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$（对所有 $x > 0$）
• 所以 $y = \ln x$ 在整个定义域上是凸的（$\cap$ 形）。

9.2 拐点

9.2.1 拐点的定义

定义：曲线上的点，在该点处曲线的凹凸性发生变化（由凹变凸或由凸变凹），则称该点为曲线的拐点（inflection point）。

注意：

• 拐点是曲线上的点 $(x_0, f(x_0))$，不是 $x_0$ 本身；
• 拐点处 $f''(x_0) = 0$ 或 $f''(x_0)$ 不存在；
• 但 $f''(x_0) = 0$ 的点不一定是拐点（如 $f(x) = x^4$ 在 $x = 0$ 处 $f''(0) = 0$，但凹凸性未变）。

9.2.2 拐点的判定

第一充分条件：设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，在 $x_0$ 的某去心邻域内二阶可导。

• 若 $f''(x)$ 在 $x_0$ 左右两侧异号，则 $(x_0, f(x_0))$ 是拐点；
• 若 $f''(x)$ 在 $x_0$ 左右两侧同号，则 $(x_0, f(x_0))$ 不是拐点。

第二充分条件：设 $f'''(x_0)$ 存在，且 $f''(x_0) = 0$，$f'''(x_0) \ne 0$，则 $(x_0, f(x_0))$ 是拐点。

判断步骤：

1. 确定定义域，求出 $f''(x)$；
2. 找出 $f''(x) = 0$ 的点和 $f''(x)$ 不存在的点；
3. 用这些点划分区间，列表判断 $f''(x)$ 的符号；
4. 根据符号变化确定拐点。

例3：求曲线 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ 的拐点。

解：

• 由例1知 $f''(x) = 6(x - 1)$
• 令 $f''(x) = 0$，得 $x = 1$
• $x < 1$ 时，$f''(x) < 0$（凸）；$x > 1$ 时，$f''(x) > 0$（凹）
• 凹凸性在 $x = 1$ 处发生变化，故 $(1, f(1))$ 是拐点
• $f(1) = 1 - 3 - 9 + 5 = -6$
• 拐点为 $(1, -6)$

例4：求曲线 $f(x) = x^4 - 6x^2 + 8x - 3$ 的凹凸区间和拐点。

解：

• $f'(x) = 4x^3 - 12x + 8$
• $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1) = 12(x - 1)(x + 1)$
• 令 $f''(x) = 0$，得 $x = -1$ 或 $x = 1$

• 凹凸性在 $x = -1$ 和 $x = 1$ 处均发生变化
• $f(-1) = 1 - 6 - 8 - 3 = -16$，拐点 $(-1, -16)$
• $f(1) = 1 - 6 + 8 - 3 = 0$，拐点 $(1, 0)$

例5：讨论 $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ 的拐点。

解：

• $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$
• $f''(x) = -\frac{2}{9}x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}$
• 当 $x = 0$ 时，$f''(x)$ 不存在

• $x < 0$ 时（注意 $x$ 为负时开立方有意义），$f''(x) = -\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}$

  当 $x < 0$ 时，$x^5 < 0$，$\sqrt[3]{x^5} < 0$，故 $-\frac{2}{9} \div (\text{负数}) = \text{正数}$，$f''(x) > 0$

• $x > 0$ 时，$f''(x) < 0$

• 凹凸性在 $x = 0$ 处发生变化，故 $(0, 0)$ 是拐点

9.3 函数作图的基本步骤

综合前面学过的内容，绘制函数图像的一般步骤如下：

9.3.1 完整步骤

1. 确定定义域：找出函数有定义的所有 $x$ 值；
2. 对称性：判断函数是否具有奇偶性或周期性；
3. 渐近线：
   • 水平渐近线：$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$
   • 垂直渐近线：$\lim_{x \to a^{\pm}} f(x) = \infty$（$a$ 为间断点）
   • 斜渐近线：$\lim_{x \to \infty} [f(x) - (kx + b)] = 0$，其中 $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$，$b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - kx]$
4. 单调性与极值：求 $f'(x)$，找出驻点和不可导点，列表判断；
5. 凹凸性与拐点：求 $f''(x)$，找出 $f''(x)=0$ 和 $f''(x)$ 不存在的点，列表判断；
6. 描点：计算关键点（极值点、拐点、与坐标轴交点）的函数值；
7. 绘图：综合以上信息，画出函数图像。

9.3.2 绘图示例

例6：绘制函数 $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$ 的图像。

解：

步骤1：定义域

$x - 1 \ne 0$，即 $x \ne 1$。定义域为 $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$。

步骤2：渐近线

• 垂直渐近线：$\lim_{x \to 1^{\pm}} \frac{x^2}{x - 1} = \infty$（分子 $\to 1$，分母 $\to 0^{\pm}$），故 $x = 1$ 是垂直渐近线。
• 斜渐近线（因 $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$，无水平渐近线）：
  • $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x - 1} = 1$
  • $b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{x - 1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x - 1} = 1$
  • 斜渐近线为 $y = x + 1$

步骤3：求导（单调性与极值）

• $f'(x) = \frac{2x(x - 1) - x^2 \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}$
• 令 $f'(x) = 0$，得 $x = 0$ 或 $x = 2$

• $f(0) = 0$，极大值点 $(0, 0)$
• $f(2) = \frac{4}{1} = 4$，极小值点 $(2, 4)$

步骤4：二阶导（凹凸性与拐点）

• $f''(x) = \frac{(2x - 2)(x - 1)^2 - (x^2 - 2x) \cdot 2(x - 1)}{(x - 1)^4} = \frac{2(x - 1)^3 - 2(x^2 - 2x)(x - 1)}{(x - 1)^4}$
• 化简得 $f''(x) = \frac{2}{(x - 1)^3}$
• $f''(x)$ 在 $x = 1$ 处不存在，且 $f''(x)$ 永不为零
• $x < 1$ 时，$(x - 1)^3 < 0$，故 $f''(x) < 0$（凸）
• $x > 1$ 时，$(x - 1)^3 > 0$，故 $f''(x) > 0$（凹）
• 凹凸性在 $x = 1$ 处变化，但 $x = 1$ 不在定义域内，故无拐点

步骤5：描点绘图

• 与 $x$ 轴交点：$f(0) = 0$，即原点
• 与 $y$ 轴交点：同 $(0, 0)$
• 极值点 $(0, 0)$ 和 $(2, 4)$
• 渐近线 $x = 1$ 和 $y = x + 1$

例7：绘制函数 $f(x) = e^{-x^2}$（高斯函数）的图像。

解：

步骤1：定义域：$\mathbb{R}$

步骤2：对称性：$f(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = f(x)$，是偶函数，图像关于 $y$ 轴对称。

步骤3：渐近线

• $\lim_{x \to \pm\infty} e^{-x^2} = 0$，故 $y = 0$ 是水平渐近线。

步骤4：单调性与极值

• $f'(x) = -2x e^{-x^2}$
• 令 $f'(x) = 0$，得 $x = 0$
• $x < 0$ 时，$f'(x) > 0$；$x > 0$ 时，$f'(x) < 0$
• 故 $x = 0$ 是极大值点，$f(0) = 1$

步骤5：凹凸性与拐点

• $f''(x) = -2e^{-x^2} + (-2x)(-2x e^{-x^2}) = -2e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} = 2e^{-x^2}(2x^2 - 1)$
• 令 $f''(x) = 0$，得 $2x^2 - 1 = 0$，即 $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $|x| < \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$f''(x) < 0$（凸）
• $|x| > \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$f''(x) > 0$（凹）
• 拐点：$\left( \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, e^{-1/2} \right) \approx (\pm 0.707, 0.607)$

步骤6：绘图

• 钟形曲线，在 $x = 0$ 处取最大值 $1$，以 $x$ 轴为水平渐近线，在 $x = \pm 0.707$ 处有拐点。

9.4 综合例题

例8：求曲线 $y = x e^{-x}$ 的凹凸区间和拐点。

解：

• $y' = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1 - x)$
• $y'' = -e^{-x}(1 - x) - e^{-x} = -e^{-x}(1 - x + 1) = -e^{-x}(2 - x) = e^{-x}(x - 2)$
• 令 $y'' = 0$，得 $x = 2$
• $x < 2$ 时，$y'' < 0$（凸）
• $x > 2$ 时，$y'' > 0$（凹）
• $x = 2$ 处为拐点，$y(2) = 2e^{-2} = \frac{2}{e^2}$
• 拐点为 $\left(2, \frac{2}{e^2}\right)$

例9：证明曲线 $y = \frac{x - 1}{x^2 + 1}$ 有三个拐点且共线。

证明：

• 求二阶导（过程略，计算量较大）
• 可以求出 $y'' = 0$ 有三个实根 $x_1, x_2, x_3$
• 验证这三个点满足某条直线方程（通常为 $y = 0$ 或 $y = \text{常数}$）

例10：设 $f(x)$ 二阶可导，且 $f''(x) > 0$，证明对任意 $a < b$，有 $f\left(\frac{a+b}{2}\right) < \frac{f(a) + f(b)}{2}$。

证明：

• $f''(x) > 0$ 表明 $f(x)$ 是凹函数
• 由凹函数的定义（或詹森不等式）直接得证
• 构造函数 $F(t) = f(a + t) + f(b - t)$，利用单调性也可证