物理

{栖岸计划}一轮简单数学物理方法

$Laplace$算子在柱坐标下的表达式

$\nabla^2 u = \frac{∂^2 u}{∂ r^2} + \frac{1}{r} \frac{∂ u}{∂ r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$

推导自笛卡尔坐标系：

$\nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$

使用Lamé系数转换，设$ h_r = 1, h_\theta = r, h_z = 1$，则：

$∇^2 u=\frac{1}{h_r h_θ h_z}\frac{∂}{∂ r}\left(\frac{h_θ h_z}{h_r}\frac{∂ u}{∂ r} \right) +\frac{∂}{∂ θ} \left( \frac{h_r h_z}{h_θ} \frac{∂ u}{∂ θ} \right)$

$+ \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{h_r h_\theta}{h_z} \frac{\partial u}{\partial z} \right)$

化简得：

$\nabla^2 u = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} $ $+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$

进一步展开：

$\nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} $ $+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$

注意：此处有小陷阱

$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial u}{\partial r})= \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + r \frac{\partial^2 u}{\partial r^2}$

自然多出一项。

柱面平面波（简谐波）方程

$\frac{∂^2 u}{∂ r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = -k^2 u$

使用分离变量法$Separation of Variables$

设解为：

$u(r,\theta,z) = R(r) \cdot \Theta(\theta) \cdot Z(z)$

代入并分离变量，得到三个常微分方程：

1. 对于 $\theta$

$\frac{1}{\Theta} \frac{d^2 \Theta}{d\theta^2} = -m^2 \quad \Rightarrow \quad \Theta(\theta) = C_m e^{im\theta}$

2. 对于 $z $

$\frac{1}{Z} \frac{d^2 Z}{dz^2} = -\beta^2 \quad \Rightarrow \quad Z(z) = C_\beta e^{i\beta z}$

3. 对于 $r$

$\frac{1}{R} \frac{d^2 R}{dr^2} + \frac{1}{rR} \frac{dR}{dr} + \left( k^2 - \frac{m^2}{r^2} \right) = 0$

令 $x = kr$，则变为标准$Bessel$方程：

$x^2 \frac{d^2 R}{dx^2} + x \frac{dR}{dx} + (x^2 - m^2) R = 0$

通解为：

$R = C_1 J_m(kr) + C_2 Y_m(kr)$

或用$Hankel$函数表示：

$R = \frac{b H_m^{(1)}(kr)}{\sqrt{r}}$

最终解的形式为：

$u(r,\theta,z) = \frac{b_1}{\sqrt{r}} H_m^{(1)}(kr) e^{im\theta} e^{i\beta z}$

去引入时间因子$e^{-i\omega t}$得常见形式

$u(r,t) = \frac{b_1}{\sqrt{r}} e^{ikr} e^{-i\omega t}$

$Bessel$函数定义

$J_m(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n! \, (n+m)!} \left( \frac{x}{2} \right)^{2n+m}, \quad J_0(x) =1$

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Laplace算子在球坐标中

$∇^2 \phi = \frac{1}{r^2} \frac{∂^2 \phi}{∂ r^2} + \frac{2}{r^2} \frac{∂ Φ}{∂ r} + \frac{1}{r^2 \sinθ} \frac{∂}{∂ θ} \left( \sinθ \frac{∂ Φ}{θ} \right)$

$\frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 \phi}{\partial \varphi^2}$

分离变量设 $\phi(r,\theta,\varphi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi)$

代入得：

$\frac{1}{R} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{dR}{dr} \right) + \frac{1}{Θ \sin\theta} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta \frac{d\Theta}{d\theta} \right)$ $+\frac{1}{\Phi \sin^2\theta} \frac{d^2\Phi}{d\varphi^2} = 0$

分离  $\varphi$ 得：

$\frac{1}{\Phi} \frac{d^2\Phi}{d\varphi^2} = -m^2 \quad \Rightarrow \quad \Phi = e^{im\varphi}$

代入后得：

$\frac{1}{R} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{dR}{dr} \right) + \frac{1}{\Theta \sin\theta} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta \frac{d\Theta}{d\theta} \right) $ $-\frac{m^2}{\sin^2\theta} = 0$

令：

$\frac{1}{R} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{dR}{dr} \right) = \lambda$

$\quad \Rightarrow \quad$

$\frac{1}{\Theta \sin\theta} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta \frac{d\Theta}{d\theta} \right) - \frac{m^2}{\sin^2\theta} = -\lambda$

令  $x = \cos\theta$，则：

$\frac{d}{dx} \left( (1 - x^2) \frac{d\Theta}{dx} \right) + (\lambda - \frac{m^2}{1 - x^2}) \Theta = 0$

即 Legendre 方程：

$(1 - x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} + l(l+1)y = 0$

对应 $\lambda = l(l+1)$，且 $m \leq l$

径向方程：

$r^2 \frac{d^2 R}{dr^2} + 2r \frac{dR}{dr} - l(l+1) R = 0$

通解：

$R(r) = A r^l + B r^{-(l+1)}$

最终解：

$\phi(r,\theta,\varphi) = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \left[ A_{lm} r^l + B_{lm} r^{-(l+1)} \right] Y_l^m(\theta,\varphi)$

其中：

$Y_l^m(\theta,\varphi) = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m(\cos\theta) e^{im\varphi}$

$Legendre$方程

$(1 - x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} + l(l+1)y = 0$

对应$Euler$方程对比：

$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - l(l+1)y = 0$

令$\lambda = l(l+1)$，考虑径向部分：

$\frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{dR}{dr} \right) = l(l+1) R$

即

$r^2 \frac{d^2 R}{dr^2} + 2r \frac{dR}{dr} - l(l+1) R = 0$

$Euler$方程通解

$R = A r^l + B r^{-(l+1)}$

球谐函数通解：

$Y_l^m(\theta, \varphi) = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m(\cos\theta) e^{im\varphi}$

最终解为：

$u(r,\theta,\varphi) = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \left[ A_{lm} r^l + B_{lm} r^{-(l+1)} \right] Y_l^m(\theta,\varphi)$

或等价地：

$u(r,\theta,z) = \sum_{m=-\infty}^\infty \left[ a_m J_m(kr) + b_m Y_m(kr) \right] e^{im\theta} e^{i\beta z}$

其中 $J_m$ 和 $Y_m$ 为$Bessel$函数。

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离散$Laplace$算子与$Fourier$变换

定义离散$Laplace$算子 $\Delta_d \phi(m,n)$ 

$\Delta_d \phi = \phi(m,n) - \frac{1}{4} \left[ \phi(m+1,n) + \phi(m-1,n) + \phi(m,n+1) + \phi(m,n-1) \right]$

其差分形式为：

$\Delta_d \phi(m,n) = \delta_{(0,0)} - \delta_{(m,n)}$

对 $\phi(m,n)$做二维Fourier变换：

$\hat{φ}(mx, ny) = \sum_{m=-∞}^∞ \sum_{n=-∞}^∞ \phi(m,n) e^{-i(mx m + ny n)} \quad \Rightarrow \quad \hat{φ}(mx, ny)$为$\phi(m,n)$的频率形式

$Fourier$卷积性质：若$ f * g $表示卷积，则：

$\mathcal{F}[\Delta_d \phi] = \hat{\phi}(mx, ny) \cdot \hat{h}(mx, ny)$

其中 $ h $是差分算子的核：

$\hat{h}(mx, ny) = 1 - \frac{1}{2} (\cos mx + \cos ny)$

$Fourier$变换表达式

$\hat{\phi}(nx, ny) = \frac{1 - e^{-i(nx + ny)}}{1 - \frac{1}{2}(\cos nx + \cos ny)}$

我们要用逆$Fourier$变换

$\phi(x,y) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{\phi}(nx, ny) e^{i(nx x + ny y)} dxdy$

计算常数项：

$\phi(0,0) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{\phi}(nx, ny) dxdy$

一般点：

$\phi(m,n) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{\phi}(nx, ny) e^{i(nx m + ny n)} dxdy$

定义差值：

$V = \phi(m,n) - \phi(0,0) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{\phi}(nx, ny) (1 - e^{i(nx m + ny n)}) dxdy$

代入(1.5)：

$V = \frac{1}{(2\pi)^2} ∫_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{(1 - e^{-i(nx + ny)})(1 - e^{i(nx m + ny n)})}{1 - \frac{1}{2}(\cos nx + \cos ny)} dxdy$

化简分子：

$V = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2(1 - \cos(nx + ny))}{1 - \frac{1}{2}(\cos nx + \cos ny)} dxdy$

最终结果：

$V = \frac{4}{(2\pi)^2} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1 - \cos(nx + ny)}{2 - \cos nx - \cos ny} dxdy$