物理

达郎贝尔方程与理想约束

一个质点在$dt$时间内做的实际的位移，称作实位移，用 $\mathrm{d}\mathbf{r}$ 表示。以前我们都是在这一意义下使用 $\mathrm{d}\mathbf{r}$ 这一符号的。想象在某一时刻 $t$，质点发生一个约束所许可的无限小位移，这一位移不是由于质点实际的运动所产生的，它不需要时间，只要满足质点在此时刻的运动学约束条件即可。这种位移称为虚位移，用 $\delta\mathbf{r}$ 表示。算符 $\delta$ 的运算规则是：作用在空间坐标上时和微分算符 $\mathrm{d}$ 的运算规则一样，作用在时间 $t$ 上时则为零，即 $\delta t = 0$。因此 $\delta\mathbf{r}$ 有时也称为等时变分。

一般来说，在任一瞬间，质点的虚位移可以不止一个。譬如质点被约束在一曲面上，那么只要不离开此曲面，质点可以在各个方向上发生虚位移。实位移则受到运动定律的限制，当时间改变 $\mathrm{d}t$ 后，实位移只有一个，因为 $\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)$ 是 $t$ 的单值函数。

如果约束稳定，实位移 $\mathrm{d}\mathbf{r}$ 是许多虚位移中的一个。对于不稳定约束，实位移和虚位移不一致。如图 2.1 所示，约束在曲面上的一个质点，若曲面本身是运动的，那么质点的虚位移 $\delta\mathbf{r}$ 处在该时刻质点所在的切平面内，而实位移 $\mathrm{d}\mathbf{r}$ 不在这一平面内，因而 $\mathrm{d}\mathbf{r}$ 就不是 $\delta\mathbf{r}$ 中的一个。

力 $\mathbf{F}$ 在虚位移下所做的功称为虚功，用 $\delta W$ 表示：$\delta W = \mathbf{F} \cdot \delta\mathbf{r}.\tag{2.1.1}$

有一类理想约束体系，其内外约束力所做的虚功之和可认为是零。我们用 $\mathbf{F}_{Ni}$ 表示第 $i$ 个质点所受到的约束力（包括体系内部的约束力和外界对体系的约束力），那么理想约束可定义为

$\sum_i \mathbf{F}_{Ni} \cdot \delta\mathbf{r}_i = 0.\tag{2.1.2}$

下列几种约束都是理想约束。

(1) 质点沿光滑曲面运动，如图 2.2 所示。该曲面对质点的约束力 $\mathbf{F}_N$ 在曲面的法线方向，不论该曲面是静止不变的，还是随时间变化的，质点的虚位移 $\delta\mathbf{r}$ 恒在曲面的切线方向。因此

$\delta W = \mathbf{F}_N \cdot \delta\mathbf{r} = 0.$

(2) 质量可忽略的刚性杆所连接的两个质点。如图 2.3 所示，用 $\mathbf{F}_{N1}$ 和 $\mathbf{F}_{N2}$ 表示杆作用在质点 $P_1$ 和 $P_2$ 上的约束力，其方向在 $P_1P_2$ 的连线方向，根据牛顿第三定律，$\mathbf{F}_{N1} = -\mathbf{F}_{N2}$，因此

$\delta W = \mathbf{F}_{N1} \cdot \delta\mathbf{r}_1 + \mathbf{F}_{N2} \cdot \delta\mathbf{r}_2 = \mathbf{F}_{N1} \cdot \delta\mathbf{r},$

其中 $\delta\mathbf{r} = \delta\mathbf{r}_1 - \delta\mathbf{r}_2$。由于刚性杆长度不变，有 $\delta\mathbf{r} \perp \mathbf{r}$，所以 $\delta\mathbf{r}$ 也和 $\mathbf{F}_{N1}$ 垂直，故 $\delta W = 0$。

(3) 两个刚体以光滑表面接触，如图 2.4 所示，仍用 $\mathbf{F}_{N1}$ 和 $\mathbf{F}_{N2}$ 表示两个刚体相互间的作用力和反作用用力，则 $\mathbf{F}_{N1} + \mathbf{F}_{N2} = 0$。由于两个刚体是光滑的，可有相对滑动，因此 $\delta\mathbf{r}_1 \neq \delta\mathbf{r}_2$。但可以证明 $\delta\mathbf{r}_1 - \delta\mathbf{r}_2$ 在两个刚体接触点的公切面内。而 $\mathbf{F}_{N1}$ 和 $\mathbf{F}_{N2}$ 都垂直于公切面，因此

$\delta W &= \mathbf{F}_{N1} \cdot \delta\mathbf{r}_1 + \mathbf{F}_{N2} \cdot \delta\mathbf{r}_2$

$= \mathbf{F}_{N1} \cdot (\delta\mathbf{r}_1 - \delta\mathbf{r}_2) = 0.$

下面证明 $\delta\mathbf{r}_1 - \delta\mathbf{r}_2$ 在两个刚体的公切面内。我们可把 $\delta\mathbf{r}_1$ 和 $\delta\mathbf{r}_2$ 分解为两部分：一部分是两者没有相对虚位移，只是切平面有一虚位移。我们用 $\delta\mathbf{r}$ 表示由切平面的虚位移所产生的切点 $P$ 的虚位移，这一虚位移是两者共同的。另一部分虚位移是在切平面不变动的情况下，两个刚体各自在切平面内的虚位移，我们分别用 $\delta\mathbf{r}_1'$ 和 $\delta\mathbf{r}_2'$ 表示。于是我们得

$\delta\mathbf{r}_1 = \delta\mathbf{r} + \delta\mathbf{r}_1',\quad \delta\mathbf{r}_2 = \delta\mathbf{r} + \delta\mathbf{r}_2'.$

两式相减得

$\delta\mathbf{r}_1 - \delta\mathbf{r}_2 = \delta\mathbf{r}_1' - \delta\mathbf{r}_2'.$

由于 $\delta\mathbf{r}_1'$ 和 $\delta\mathbf{r}_2'$ 都是在公切面内的虚位移，因而 $\delta\mathbf{r}_1' - \delta\mathbf{r}_2'$ 必定在公切面内，所以 $\delta\mathbf{r}_1 - \delta\mathbf{r}_2$ 也一定在公切面内。

(4) 两个物体以完全粗糙的表面相接触（不能有滑动，只能作纯滚动），此时接触点的相对速度 $\mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1 = 0$，约束条件为 $\delta\mathbf{r}_2 - \delta\mathbf{r}_1 = 0$，因此

$\delta W = \mathbf{F}_{N1} \cdot \delta\mathbf{r}_1 + \mathbf{F}_{N2} \cdot \delta\mathbf{r}_2 = \mathbf{F}_{N1} \cdot (\delta\mathbf{r}_1 - \delta\mathbf{r}_2) = 0.$

\]

(5) 两个质点以柔软而不可伸长的绳子相连接。以 §1.3 图 1.7 所示的题为例，用 $\mathbf{r}_1$ 和 $\mathbf{r}_2$ 分别表示质点 $m$ 和 $m'$ 的位置，则

$\delta W &= \mathbf{F}_{T1} \cdot \delta\mathbf{r}_1 + \mathbf{F}_{T2} \cdot \delta\mathbf{r}_2 $

$= (-F_T \mathbf{e}_R) \cdot (\delta R \mathbf{e}_R + R \delta\varphi \mathbf{e}_\varphi) + F_T \mathbf{k} \cdot \delta z \mathbf{k} $

$= -F_T \delta R + F_T \delta z.$

利用约束条件 $R - z = l$，得 $\delta R = \delta z$，代入上式即得

$\delta W = 0,$

如果把更复杂一些的力学体系视为由一些刚体和质点所组成的，那么从上面的一些例子可以看到，只要物体间的连接是刚性的，所有接触面或是理想光滑，或是绝对粗糙，则任一复杂的力学体系均可视为具有理想约束的体系。在某些情况下，如果略去介质阻力就不能正确描述现象的物理性质，此时必须放弃理想约束的条件，或者将介质阻力视为未知的主动力，而认为约束仍然是理想的，由于未知介质阻力的出现而缺少的方程则由实验定律来补充。如不作特别说明，则总是假定一切约束都是理想的。

下面讨论如何把约束力全部消去的问题。以后都用 $\mathbf{F}_N$ 表示约束力，$\mathbf{F}$ 表示主动力。受约束的质点系中每一个质点的运动方程可写为

$m_i \ddot{\mathbf{r}}_i = \mathbf{F}_i + \mathbf{F}_{Ni},\quad i = 1,2,\cdots,n,$

上式可改写为

$\mathbf{F}_i + \mathbf{F}_{Ni} - m_i \ddot{\mathbf{r}}_i = 0,\quad i = 1,2,\cdots,n.\tag{2.1.3}$

给体系以虚位移 $\delta\mathbf{r}_i$，由 (2.1.3) 式可得

$\sum_i (\mathbf{F}_i + \mathbf{F}_{Ni} - m_i \ddot{\mathbf{r}}_i) \cdot \delta\mathbf{r}_i = 0.$

如果约束是理想的，则由定义 (2.1.2)，上式可写为

$\sum_i (\mathbf{F}_i - m_i \ddot{\mathbf{r}}_i) \cdot \delta\mathbf{r}_i = 0.\tag{2.1.4}$

这个方程称为达朗贝尔方程，这是理想约束体系动力学的普遍方程，约束力在方程中已不再出现了。

补充说明：这部分是学金尚年理论力学时记的笔记，图片会补在评论区