物理 广义势能与带电粒子在磁场中的拉格朗日函数
如果体系受到的力不是通常意义下的保守力，广义力就不能表示为正常的拉格朗日方程形式。
但可以表示为$Q_a = -\frac{\partial U}{\partial q_a} + \frac{d}{dt} \frac{\partial U}{\partial \dot{q}_a}$
式中函数U是广义坐标与广义速度的函数，有$U = U(q, \dot{q})$
将U函数代入到标准拉格朗日方程中得到$\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_a} - \frac{\partial T}{\partial q_a} = Q_a$
并令$L = T - U$,任然可以得到保守体系的拉格朗日方程：
$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a} - \frac{\partial L}{\partial q_a} = 0, \quad \alpha = 1,2,\cdots,s$
带电粒子在电磁场中的运动是这一类力学体系的最重要的例子。给出其拉格朗日函数。
带有电荷q的粒子在电场E与磁场B中运动时受到的洛伦兹力为$F = q(E + v \times B)$
电场与磁场本身的运动满足Maxwell方程组
$\nabla \times E + \frac{\partial B}{\partial t} = 0$
$\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$
$\nabla \times B - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t} = \mu_0 j$
$\nabla \cdot B = 0$
显然洛伦兹力不满足通常意义下的保守力条件，因此不存在通常意义下的拉格朗日函数。但由于Maxwell方程组，可以将洛伦兹写为广义势能的表示形
式。我们可以将第四式写为$B = \nabla \times A$，
将这个式子带入麦克斯韦方程组，得$\nabla \times \left( E + \frac{\partial A}{\partial t} \right) = 0$
定义一个标量函数φ，$-\nabla \varphi = E + \frac{\partial A}{\partial t}$
通常称A为电磁场的失势，φ为电磁场的标势。
继而把洛伦兹力表示为$F = q \left[ -\nabla \varphi - \frac{\partial A}{\partial t} + v \times (\nabla \times A) \right]$
把洛伦兹力的分量形式写出来，因为
$(\nabla \varphi)_x = \frac{\partial \varphi}{\partial x}$
$[v \times (\nabla \times A)]_x = v_y \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) - v_z \left( \frac{\partial A_z}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial z} \right)$
$\left( \frac{\partial A}{\partial t} \right)_x = \frac{\partial A_x}{\partial t}$
所以得到
$F_x = q \left[ -\frac{\partial \varphi}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial t} + v_y \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) - v_z \left( \frac{\partial A_z}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial z} \right) \right]$
他对于时间的微商就是粒子的速度，$\dot{x} = v_x, \quad \dot{y} = v_y, \quad \dot{z} = v_z$
因此得到
$\frac{dA_x}{dt} = \frac{\partial A_x}{\partial t} + v_x \frac{\partial A_x}{\partial x} + v_y \frac{\partial A_x}{\partial y} + v_z \frac{\partial A_x}{\partial z}$
将这个式子带入至洛伦兹力的分量式，得到
$F_x = q \left[ -\frac{\partial \varphi}{\partial x} - \frac{dA_x}{dt} + v_y \frac{\partial A_y}{\partial x} + v_z \frac{\partial A_z}{\partial x} \right]$
考虑到A与φ都不是v的函数，因此有
$\frac{dA_x}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ \frac{\partial}{\partial v_x} (A \cdot v) \right] = \frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial v_x} (-\varphi + A \cdot v)$
$\left( v_x \frac{\partial A_x}{\partial x} + v_y \frac{\partial A_y}{\partial x} + v_z \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) = v \cdot \frac{\partial}{\partial x} (v \cdot A)$
于是将$F_x$表示为
$F_x = q \left[ -\frac{\partial}{\partial x} (\varphi - A \cdot v) + \frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial v_x} (\varphi - A \cdot v) \right]$
对比广义势能，有$U = q\varphi - qA \cdot v$
于是粒子的拉格朗日函数为$L = \frac{1}{2}mv^2 - q\varphi + qA \cdot v$
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