一个代数中的简单主题

第一次发帖，不知道讲些什么好，那么今天我们讨论一个群论的具体主题，整数加法群。在本帖中，我们将运用群的理论来证明一些初等数论的定理，主要聚焦于最大公因数和最小公倍数，在此之前，请允许我介绍一些群论的知识。

群论最早诞生于高次代数方程的求解，Lagrange第一次猜测高于四次的代数方程没有根式解，并发现方程的可解性可能跟根与根之间的某种关系有关，后来Galois建立了相关理论体系，但其理论主要研究置换群（对一些东西的顺序进行交换称为一个置换，置换群就是一些置换构成的群）。现代的群论主要是在后来才发展起来的，不过普遍认为Galois是群论的鼻祖。

首先集合$S$上的一个(封闭的)合成法则$\circ$，或者称为运算，指的是一个函数$\circ : S\times S \to S$，该函数的定义域是S中元素构成的二元组，也就是说给定$S$中的两个元素$a$，$b$(注意，$a$，$b$的顺序是极其重要的，想想向量叉乘)，你都可以得到一个值$a\circ b$。在很多代数教材中并没有规定合成法则的值域必须是$S$，我们为了简便要求了这一点，这称之为封闭性。我们可以看到很多合成法则的例子，如实数或复数的加法和乘法之，矩阵的加法和乘法，刚刚我们用来定义合成法则的笛卡尔积，向量叉乘等等。但是请注意，向量点乘并不是一个合成法则，因为它不满足封闭性。

如果$S$上的一个合成法则$\circ$满足对$S$上的所有$a$和$b$，我们都有$a\circ b= b\circ a$，则我们称这个合成法则是交换的。如果它满足$( a\circ b ) \circ c=a \circ (b \circ c )$，则我们称这个合成法则是结合的。一般来说，交换是比结合更高级的性质。四元数的乘法是不交换的，但是满足结合律。如果您学的够多的话一定听过非结合代数，就是指的其中的乘法甚至不满足结合律。

下面我们可以定义群了。群是一个集合$G$与$G$上的一个合成法则$\circ$构成的二元组$(G, \circ )$，简记为$G$，满足以下性质：

1) $\circ$是结合的；

2)存在$e\in G$ s.t. 任意$a \in G$都有$a \circ e=e\circ a=a$，其中的元素$e$称为幺元或单位元；

3)任意$a\in G$存在$b\in G$ s.t. $a\circ b=b\circ a=e$，$b$称为$a$的逆元，并记作$b=a^{-1}$。

仅满足1)的称为半群，仅满足1)和2)的称为（含）幺半群，如果$\circ$是交换的，就称为$Abel$群或交换群。请读者证明以下结论：群中的幺元和逆元均是唯一的。如果$H \subseteq G$在$\circ$下也构成一个群，那么我们称$H$为$G$的子群，并记作$H \leq G$。特别地，我们显然有${e},G\leq G$，我们称这两个群是$G$的平凡子群。例如$( \mathbb{C} ,+ )$称为复数加法群，但是$( \mathbb{C},\times )$并不是一个群，因为0不可逆。

现在我们把目光集中到整数加法群$\mathbb{Z}$上，这显然是一个$Abel$群。对于这个群我们从小学一年级就已经接触过了，但我们并没有很好的了解它，最主要的一点，$\mathbb{Z}$的平凡子群具有什么样的结构，或着有什么样的性质。我们引入一下几个记号，对于集合$A$，$B$，$kA= \{ ka|a\in A \}$，$A+B= \{ a+b|a\in A,b\in B \}$。我们希望读者自己证明以下三件事：

1)$a|b$当且仅当$b\mathbb{Z} \subset a\mathbb{Z}$

2)$a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z}$

3)$a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z}$

这三点是容易证明的，并且具有一定的启发性。第一点告诉我们整数的整除关系可以完全转化为两个群之间的子群关系，这启发我们研究这种形式的子群；第二点与第三点则告诉我们如何通过整数加法群的两个形如$a\mathbb{Z}$的子群来构造另一个子群。从以上三点来看，这种形式的子群具有很好的性质，但问题是，整数加法群的哪些子群才具有这样的形式呢？

我们声称，$\mathbb{Z}$的所有非平凡子群都具有形式$a\mathbb{Z}$，其中$a \in \mathbb{Z}$。证明思路是取$\mathbb{Z}$非平凡子群中最小的正元素，然后做带余除法即可。这一点能告诉我们许多事情，学过环论的读者可以发现，我们实际上是证明了$\mathbb{Z}$是一个主理想整环，而这无非是Euclid整环是主理想整环的简单推论。由此，我们一定知道，存在$d,m\in \mathbb{Z}$，使得:

1)$m\mathbb{Z}=a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z}$

2)$d\mathbb{Z}=a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}$

我们立即能知道$m$是$a$和$b$的最小公倍数。并且最小公倍数的最小性和$a,b|m$完全可以由以下事实得到：一个整数被$a$和$b$整除当且仅当它属于$a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z} $。但是我们更想知道，$d$的意义是什么呢？容易猜出，$d$是$a$和$b$的最大公因数。只需要注意到如果$e|a$且$e|b$，那么立即能推出$a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}\leq e\mathbb{Z}$，由此推出$e|d$，由此，$d$是a和b的最大公因数。另一方面，我们知道$d\in d\mathbb{Z}＝a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}$，这实际上就是Bezout定理。由此又能有以下推论：

1)$a$，$b$互素当且仅当存在整数$x$，$y$使得$ax+by=1$

2)对于素数$p$，$p|ab$当且仅当$p|a$或$p|b$

这一部分的内容可以完全搬运到更广阔的背景上，下面介绍一些环的知识，我们仅考虑含幺的交换环。一个环是由一个集合及其上的两个合成法则(分别称为加法和乘法）构成的三元组$(R,+,\times)$，满足以下性质：

1)$(R,+)$构成Abel群，幺元记作0，$(R,\times)$构成交换幺半群，幺元记作1；

2)乘法对加法分配，即任意的$r,a,b\in R$，满足$r(a+b)=ra+rb$

如果它同时满足任意元素$a,b\in R$，若满足$ab=0$可以推出$a=0$或$b=0$，则称$R$是一个整环。类似于子群，我们可以类比定义子环的概念，并用同样的记号来表示。对于环而言，我们有比子环更强的结构，称为理想。我们称$I \subseteq R$为R 的理想，若：

1)$(I,+)$构成一个群，$(I,\times)$构成一个半群（从交换环上自然地继承了交换律）

2)任意$r\in R$，都有$rI \subset I$

显然，形如$aR$的结构都是$R$的理想，我们称之为$R$的主理想，并记作$(a)$。如果一个整环的理想都是它的主理想，那么称之为主理想整环。下面我们只研究主理想整环。我们前面已经证明过，环$\mathbb{Z}$其实是一个主理想整环，并且前面的理论我们似乎只运用了这一点。也就是说，我们的结论是否能完完全全地推广到任意主理想整环上呢？答案是可以的。我们先定义中主理想环整环上的整除关系。与前面类似的，对于一个主理想整环$R$以及$a,b\in R$，$a|b$当且仅当$(b)\subseteq (a)$。同理，我们也可以定义最大公约数和最小公倍数。但是请注意，我们只在一个环上定义了整除关系，因此我们定义最大公约数和最小公倍数也只能用整除来定义的。这样我们就可以把前面的结果完完全全地照搬过来，证明是类似的。