物理 [栖岸计划/单片系列/长文章]-量子力学
引言
量子力学是描述微观粒子（如原子、分子、基本粒子等）运动规律的理论体系，它与相对论共同构成现代物理学的两大支柱。量子力学诞生于20世纪初，主要为了解决经典物理学在解释黑体辐射、光电效应、原子光谱等实验现象时遇到的困难。
量子力学与经典力学的根本区别在于：
- 物理量的离散化（量子化）
- 波粒二象性
- 概率性描述
- 测量过程的特殊性
- 量子纠缠现象
数学基础
希尔伯特空间
量子力学的状态由希尔伯特空间中的矢量描述。希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 是一个完备的内积空间。
狄拉克记号
狄拉克记号是描述量子态的强大工具：
- 右矢（ket）：$|\psi\rangle$ 表示状态向量
- 左矢（bra）：$\langle \psi|$ 表示对偶向量
- 内积：$\langle \phi | \psi \rangle$ 为复数
- 外积：$|\phi\rangle\langle \psi|$ 为算符
算符理论
物理可观测量由厄米算符表示：
- 厄米算符：$\hat{A}^\dagger = \hat{A}$，保证本征值为实数
- 本征值方程：$\hat{A}|\psi_n\rangle = a_n|\psi_n\rangle$
- 完备性关系：$\sum_n |\psi_n\rangle\langle \psi_n| = \hat{I}$
- 对易关系：$[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}$
位置和动量算符满足基本对易关系：$$[\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar$$
基本公设
公设一：状态描述
一个物理系统的状态由希尔伯特空间中的单位矢量（态矢量）$|\psi(t)\rangle$ 完全描述。
公设二：可观测量
每一个物理可观测量对应一个厄米算符 $\hat{A}$，其本征值谱给出了该观测量所有可能的测量结果。
公设三：测量原理
对可观测量 $\hat{A}$ 进行测量，得到其本征值 $a_n$ 的概率为：$$P(a_n) = |\langle \psi_n | \psi \rangle|^2$$测量后系统状态坍缩到对应的本征态 $|\psi_n\rangle$。
公设四：时间演化
系统状态随时间的演化由薛定谔方程描述：$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle$$其中 $\hat{H}$ 是系统的哈密顿算符。
公设五：复合系统
复合系统的态空间是各子系统态空间的张量积：$$\mathcal{H} = \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2 \otimes \cdots \otimes \mathcal{H}_N$$
薛定谔方程
含时薛定谔方程
波函数 $\psi(\mathbf{r}, t)$ 的时间演化由含时薛定谔方程决定：$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{r}, t) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}, t) \right] \psi(\mathbf{r}, t)$$
定态薛定谔方程
当势能 $V$ 不显含时间时，可用分离变量法求解。设 $\psi(\mathbf{r}, t) = \phi(\mathbf{r}) e^{-iEt/\hbar}$，得到定态薛定谔方程：$$\left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right] \phi(\mathbf{r}) = E \phi(\mathbf{r})$$
一维无限深势阱
作为简单例子，考虑一维无限深势阱：$$V(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < L \\ \infty, & \text{其他}\end{cases}$$解为：$$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}, \quad n = 1,2,3,\dots$$
谐振子
一维量子谐振子势能 $V(x) = \frac{1}{2} m\omega^2 x^2$，其解为：$$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left( \frac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{1/4} H_n\left( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right) e^{-m\omega x^2/(2\hbar)}$$$$E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega, \quad n = 0,1,2,\dots$$其中 $H_n$ 是厄米多项式。
表象理论
坐标表象
在坐标表象中，态矢量用波函数表示：$$\psi(\mathbf{r}) = \langle \mathbf{r} | \psi \rangle$$位置算符 $\hat{\mathbf{r}}$ 作用为乘法，动量算符 $\hat{\mathbf{p}}$ 作用为微分：$$\hat{\mathbf{r}} \to \mathbf{r}, \quad \hat{\mathbf{p}} \to -i\hbar \nabla$$
动量表象
在动量表象中：$$\phi(\mathbf{p}) = \langle \mathbf{p} | \psi \rangle$$位置和动量算符的作用方式互换：$$\hat{\mathbf{r}} \to i\hbar \nabla_{\mathbf{p}}, \quad \hat{\mathbf{p}} \to \mathbf{p}$$
表象变换
坐标表象和动量表象通过傅里叶变换联系：$$\psi(\mathbf{r}) = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}} \int \phi(\mathbf{p}) e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}/\hbar} d^3p$$$$\phi(\mathbf{p}) = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}} \int \psi(\mathbf{r}) e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}/\hbar} d^3r$$
角动量理论
轨道角动量
轨道角动量算符定义为：$$\hat{\mathbf{L}} = \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}}$$分量满足对易关系：$$[\hat{L}_i, \hat{L}j] = i\hbar \epsilon{ijk} \hat{L}_k$$
角动量平方算符
定义 $\hat{L}^2 = \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 + \hat{L}_z^2$，满足：$$[\hat{L}^2, \hat{L}_i] = 0, \quad i = x, y, z$$
本征值问题
同时对角化 $\hat{L}^2$ 和 $\hat{L}_z$：$$\hat{L}^2 |l,m\rangle = \hbar^2 l(l+1) |l,m\rangle$$$$\hat{L}_z |l,m\rangle = \hbar m |l,m\rangle$$其中 $l = 0, 1, 2, \dots$，$m = -l, -l+1, \dots, l-1, l$。
自旋角动量
自旋是内禀角动量，与空间运动无关。电子自旋算符满足：$$[\hat{S}_i, \hat{S}j] = i\hbar \epsilon{ijk} \hat{S}_k$$电子自旋量子数 $s = 1/2$，自旋投影 $m_s = \pm 1/2$。
近似方法
定态微扰论
设哈密顿量 $\hat{H} = \hat{H}_0 + \lambda \hat{H}'$，其中 $\hat{H}_0$ 可精确求解，$\hat{H}'$ 为微扰。
非简并微扰论
一级修正：$$E_n^{(1)} = \langle n^{(0)} | \hat{H}' | n^{(0)} \rangle$$$$|n^{(1)}\rangle = \sum_{k \neq n} \frac{\langle k^{(0)} | \hat{H}' | n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} |k^{(0)}\rangle$$二级能量修正：$$E_n^{(2)} = \sum_{k \neq n} \frac{|\langle k^{(0)} | \hat{H}' | n^{(0)} \rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}}$$
简并微扰论
对于简并能级，需要解久期方程：$$\det\left( \langle n_i^{(0)} | \hat{H}' | n_j^{(0)} \rangle - E^{(1)} \delta_{ij} \right) = 0$$
变分法
对于基态能量，变分原理给出：$$E_0 \le \frac{\langle \psi | \hat{H} | \psi \rangle}{\langle \psi | \psi \rangle}$$其中 $|\psi\rangle$ 为试探波函数。
WKB近似
WKB近似适用于缓变势场，波函数近似为：$$\psi(x) \approx \frac{C}{\sqrt{p(x)}} \exp\left( \pm \frac{i}{\hbar} \int p(x) dx \right)$$其中 $p(x) = \sqrt{2m[E - V(x)]}$。
全同粒子
全同粒子原理
全同粒子是不可区分的，交换两个全同粒子不改变系统的物理状态。
交换对称性
波函数的交换对称性决定粒子统计：
- 玻色子：整数自旋，波函数对称，满足玻色-爱因斯坦统计
- 费米子：半整数自旋，波函数反对称，满足费米-狄拉克统计
泡利不相容原理
对于费米子，两个全同费米子不能处于相同的单粒子态。
全同粒子波函数构造
对于两粒子系统：
对称波函数（玻色子）：$$\psi_S(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} [\psi_a(\mathbf{r}_1)\psi_b(\mathbf{r}_2) + \psi_a(\mathbf{r}_2)\psi_b(\mathbf{r}_1)]$$
反对称波函数（费米子）：$$\psi_A(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} [\psi_a(\mathbf{r}_1)\psi_b(\mathbf{r}_2) - \psi_a(\mathbf{r}_2)\psi_b(\mathbf{r}_1)]$$
散射理论
散射截面
微分散射截面定义为：$$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{\text{散射到立体角 } d\Omega \text{ 的粒子流}}{\text{入射粒子流密度}}$$总散射截面：$$\sigma = \int \frac{d\sigma}{d\Omega} d\Omega$$
玻恩近似
对于高能散射，玻恩近似给出：$$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left( \frac{m}{2\pi\hbar^2} \right)^2 \left| \int V(\mathbf{r}) e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}/\hbar} d^3r \right|^2$$其中 $\mathbf{q} = \mathbf{k}_f - \mathbf{k}_i$ 为动量转移。
分波法
对于中心势散射，将波函数按角动量展开：$$\psi(\mathbf{r}) = \sum_{l=0}^{\infty} \frac{u_l(r)}{r} P_l(\cos\theta)$$相移 $\delta_l$ 由径向方程边界条件确定，微分散射截面为：$$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left| \frac{1}{k} \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) e^{i\delta_l} \sin\delta_l P_l(\cos\theta) \right|^2$$
量子力学的诠释
哥本哈根诠释
哥本哈根诠释是量子力学的标准诠释，核心观点包括：
- 波函数提供系统状态的完全描述
- 玻恩规则：波函数的模方给出概率
- 互补性原理：波动性和粒子性互补
- 测量导致波包坍缩
多世界诠释
埃弗雷特的多世界诠释认为：
- 波函数从不坍缩
- 所有可能的结果都在不同的分支中实现
- 宇宙不断分裂成多个平行世界
导波理论
德布罗意-玻姆的导波理论认为：
- 粒子具有确定的位置和动量
- 波函数引导粒子的运动
- 系统由波函数和粒子位置共同描述
量子退相干
退相干理论解释宏观经典性如何从量子系统中涌现：
- 系统与环境的相互作用导致相干性丧失
- 约化密度矩阵对角化
- 解释表观波包坍缩
量子纠缠与量子信息
纠缠态
纠缠态是不能写成直积态的复合系统态，例如贝尔态：$$|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|00\rangle + |11\rangle)$$
贝尔不等式
贝尔不等式检验局域实在论与量子力学的预测差异。量子力学违反贝尔不等式，支持非局域性。
量子隐形传态
量子隐形传态协议允许在相隔很远的两个地点之间传输未知量子态，需要经典通信和纠缠资源。
量子计算基础
量子比特（qubit）是量子计算的基本单位：$$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle, \quad |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$$量子门对量子比特进行酉变换，例如哈达玛门：$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$
相对论性量子力学
克莱因-戈尔登方程
描述自旋为零的粒子的相对论性波动方程：$$\left( \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi = 0$$
狄拉克方程
描述自旋 $1/2$ 粒子的相对论性方程：$$(i\hbar \gamma^\mu \partial_\mu - m c) \psi = 0$$其中 $\gamma^\mu$ 是狄拉克矩阵。
狄拉克方程自然预言了：
- 电子自旋为 $1/2$
- 磁矩 $g=2$
- 反粒子的存在