物理 [栖岸计划][数学四大工具之一-微分方程] 第二章：一阶微分方程的深入与应用
2.1 可化为变量可分离的方程
有些方程虽然不是直接变量可分离形式，但可以通过变量代换化为可分离方程。
类型一：形如$$ \frac{dy}{dx} = f(ax + by + c) $$
解法：令 $ u = ax + by + c $，则$$ \frac{du}{dx} = a + b \frac{dy}{dx} = a + b f(u) $$化为变量可分离方程：$$ \frac{du}{a + b f(u)} = dx $$
类型二：形如$$ \frac{dy}{dx} = f\left( \frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2} \right) $$
解法：
- 若 $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} $，令 $ u = a_1 x + b_1 y $ 可化为变量可分离。
- 否则，解方程组$$ \begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \end{cases} $$得交点 $ (x_0, y_0) $，令 $ X = x - x_0,\ Y = y - y_0 $，化为齐次方程。
2.2 一阶隐式微分方程
形如$$ F(x, y, y') = 0 $$不能显式解出 $ y' $。
解法思路：
（1）可解出 $ y $：令 $ y' = p $，则 $ y = f(x, p) $，两边对 $ x $ 求导得$$ p = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial p} \frac{dp}{dx} $$得到 $ p $ 的一阶方程。
（2）可解出 $ x $：类似方法，设 $ x = g(y, p) $，对 $ y $ 求导。
（3）克莱罗方程：$$ y = x p + \psi(p) $$通解为 $ y = Cx + \psi(C) $，奇解由 $ x + \psi'(p) = 0 $ 消去 $ p $ 得到。
2.3 一阶微分方程的应用
几何应用
等角轨线：求与曲线族 $ F(x, y, y') = 0 $ 交角为 $ \alpha $ 的轨线。
若 $ \alpha = 90^\circ $（正交轨线），满足：$$ y' = -\frac{1}{y'_0} $$
物理应用
牛顿冷却定律：$$ \frac{dT}{dt} = k(T - T_{\text{env}}) $$其中 $ T $ 为物体温度，$ T_{\text{env}} $ 为环境温度，$ k $ 为冷却常数。
人口模型
马尔萨斯模型：$$ \frac{dP}{dt} = rP $$解为 $ P(t) = P_0 e^{rt} $，其中 $ r $ 为增长率。
逻辑斯蒂模型：$$ \frac{dP}{dt} = rP\left(1 - \frac{P}{K}\right) $$解为$$ P(t) = \frac{K}{1 + \left( \frac{K}{P_0} - 1 \right) e^{-rt}} $$其中 $ K $ 为环境容纳量。
2.4 数值解初步：欧拉方法
对于初值问题$$ \frac{dy}{dx} = f(x, y),\quad y(x_0) = y_0 $$
欧拉格式：$$ y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) $$其中 $ h = x_{n+1} - x_n $ 为步长。
几何意义：用折线近似积分曲线。
改进欧拉方法（预测-校正）：$$ y_{n+1}^{(p)} = y_n + h f(x_n, y_n) $$$$ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \left[ f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_{n+1}^{(p)}) \right] $$
局部截断误差：欧拉方法为 $ O(h^2) $，改进欧拉方法为 $ O(h^3) $。