物理

快进来称量地球🤓———关于引力常量G和扭秤实验的一些想法

$\large{0.前言}$

我们$\sout{从小学二年级🤓就已经}$知道，牛顿对物理学的推动作用是不可忽视且至关重要的(其实评价没那么低🤓)

其中最富盛名的一个成就当然就是万有引力定律了

高中教材上是这么讲的：

$F=G\frac{m_1m_2}{r^2},其中m_1,m_2为两物体质量,r为两物体之间的距离,G为引力常量$

但是牛顿在发现万有引力定律后，也留下了一个问题：

现在两个物体间的万有引力还是无法计算，因为G没有测出来

$当然，现在我们已经知道G约为6.67×10^{-11}N^2·m^2·kg^{-2}$

但在当时，牛顿并没有测量引力常量的值或设计出测量它的方案

而最先测出引力常量G的人则是卡文迪什("扭秤实验")

且慢！卡文迪什是怎么通过几个小球测出G的呢？

这时候有人就会说：这还不简单吗？卡文迪什在扭秤的转轴处放置了一个平面镜，光经过镜面反射到刻度尺上，这样我们就可以通过观察刻度尺读数的变化来测出G...

我：Wait a minute！卡文迪什是怎么通过观察刻度尺读数的变化来测出G的？

对方：...

我：好了，该我发挥了🤓👆

$\large{1.扭秤转动的角度}$

我们先来看看到底怎么通过刻度尺上面的读数变化来得到扭秤旋转的角度

首先，我们先把镜面转动前后光路的变化画出来：(顺便把一些需要测量的物理量标出来)

图中标红的实线和虚线分别为转动后的镜面和法线

注意到$∠BOQ=∠FOQ^{'}=90°,故∠BOF=∠QOQ^{'}=θ$

$又由反射定律得∠BOD=∠AOB=α,以及∠COF=∠AOF=∠AOB+∠BOF=α+θ$

$故∠COD=∠COF+∠BOF-∠BOD=2θ,∠C=90°-∠BOD-∠COD=90°-α-2θ$

$在∆COD中,由正弦定理得\frac{s}{\sin 2θ}=\frac{\frac{d}{\cos α}}{\sin (90°-α-2θ)}$

$整理得d\sin 2θ=s\cos α\cos (α+2θ)=s\cos α(\cos α\cos 2θ-\sin α\sin 2θ)=s\cos 2θ\frac{1+\cos 2α}{2}-s\sin 2θ\frac{\sin 2α}{2}$

$即2d\sin 2θ=s\cos 2θ(1+\cos 2α)-s\sin 2θ\sin 2α,从而\tan 2θ=\frac{s(1+\cos 2α)}{2d+s\sin 2α}=\frac{2\tan θ}{1-(\tan θ)^2}$

$因为在扭秤旋转过程中,镜面转过的角度θ极小,所以可做近似\tan θ≈0,\sin θ≈\tan θ$

$从而2\sin θ≈2\tan θ≈\tan 2θ=\frac{s(1+\cos 2α)}{2d+s\sin 2α},\sin θ=\frac{s(1+\cos 2α)}{2(2d+s\sin 2α)}$

$\large{2.求解G}$

现在，我们把目光转向相互吸引的两个小球(再画一个图)

$设小球,大球的质量分别为m,M,两球间距离为L,小球的转动半径为r,小球在t时刻的速度大小为v$

$根据动能定理和动量定理可得\frac{GMm}{L^2}t=mv,\frac{GMm}{L^2}r\sin θ=\frac{1}{2}mv^2$

$消去速度v,得到G=\frac{2rL^2\sin θ}{Mt^2}$

$再将前面得到的\sin θ的式子代入,再令β=2α,就可以得到测量引力常量G的表达式：$

$\large{G=\frac{rL^2s(1+\cos β)}{Mt^2(2d+s\sin β)}}$

$其中r为转轴半径,L为两球间距离,s为刻度尺上面光线移动的距离,β为入射光线与反射光线之间的夹角$

$M为大球质量,t为小球转动时间,d为镜面到刻度尺的距离$

$当然,为了计算方便,可以取β=90°,此时光线斜向下45°射到镜面上,那么上面的式子就可以变成$

$G=\frac{rL^2s(1+\cos β)}{Mt^2(2d+s\sin β)}$