物理

一个关于0.999...=1的证明？

有谁能看看这个证明有没有问题？

$假设0.999\cdots\lt 1,那么这两个数之间必定存在无穷多个实数,所以不妨设0.999\cdots\lt a\lt 1$

$由于正数a小于1,所以a可以写成十进制小数的形式,即a=0.\overline{a_1a_2{\cdots}a_n},a_i∈\{0,1,\cdots,9\}$

$若a_1{\lt}9,则必有a{\lt}0.999\cdots,矛盾！故a_1=9$

类似地，归纳可证$∀i∈\mathbb{N}_{+},a_i=9$

从而$a=0.999\cdots,与假设矛盾！故0.999{\cdots}=1$