物理

[栖岸计划][数学四大工具之一-微分方程]-第一章:微分方程的基本概念与初等积分法

第一章：微分方程的基本概念与初等积分法

1.1 微分方程的基本概念

定义：微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
如果未知函数是一元函数，称为常微分方程；如果是多元函数，称为偏微分方程。

阶数：方程中出现的最高阶导数的阶数。

线性与非线性：若未知函数及其各阶导数都是一次项，且无它们的乘积或复合，则为线性微分方程，否则为非线性。

解与通解：

• 解：代入方程使其成为恒等式的函数。
• 通解：含有与方程阶数相同个数的独立任意常数的解。
• 特解：由初始条件确定任意常数后得到的解。

1.2 变量可分离方程

形如
$$ \frac{dy}{dx} = g(x) h(y) $$
的方程称为变量可分离方程。

解法：
分离变量
$$ \frac{dy}{h(y)} = g(x) \, dx $$
两边积分
$$ \int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x) \, dx + C $$
得到隐式通解。

1.3 齐次方程

形如
$$ \frac{dy}{dx} = f\left( \frac{y}{x} \right) $$
的方程称为齐次方程（这里指可化为齐次型的，与线性齐次方程不同）。

解法：令 $ u = \frac{y}{x} $，则 $ y = u x $，
$$ \frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx} $$
代入得
$$ u + x \frac{du}{dx} = f(u) $$
$$ x \frac{du}{dx} = f(u) - u $$
分离变量积分即可。

1.4 一阶线性微分方程

形如
$$ \frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) $$
解法（常数变易法）：

1. 解齐次方程 $ \frac{dy}{dx} + P(x) y = 0 $，得
   $$ y_h = C e^{-\int P(x) \, dx} $$

2. 设非齐次方程的解为 $ y = u(x) e^{-\int P(x) \, dx} $，代入原方程，得
   $$ u'(x) e^{-\int P(x) \, dx} = Q(x) $$
   $$ u'(x) = Q(x) e^{\int P(x) \, dx} $$
   $$ u(x) = \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C $$

3. 通解
   $$ y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right) $$

1.5 伯努利方程

形如
$$ \frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^n \quad (n \neq 0, 1) $$
解法：令 $ z = y^{1-n} $，化为线性方程：$$ \frac{dz}{dx} + (1-n) P(x) z = (1-n) Q(x) $$

1.6 恰当方程与积分因子

形如
$$ M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy = 0 $$
若 $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $，则为恰当方程，其通解为
$$ \int_{x_0}^x M(t, y) \, dt + \int_{y_0}^y N(x_0, s) \, ds = C $$
若不恰当，可寻找积分因子 $ \mu(x, y) $ 使其变为恰当方程。

1.7 初等积分法总结

常见类型及解法：

• 变量可分离：直接分离积分
• 齐次方程：设 $ u = y/x $
• 一阶线性：常数变易法
• 伯努利方程：化为线性
• 恰当方程：直接求原函数
• 可降阶的高阶方程（将在后续章节展开）