物理

〘栖岸计划〙拉格朗日方程

我决定用理论力学知识标准写一篇难度更高的$Euler—lagrange方程$

正则动量与拉格朗日量分析

正则动量与动量

在刚体绕轴转动中，我们常常会在动能项中分离出项：

$E_k = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I ω^2$

根据正则动量的定义：

拉格朗日量为：

$L = E_k - E_p$

取：

在电磁场中，磁势矢势 $\vec{A}$的势能项为：

$V = q \vec{v}× \vec{A}$

其拉格朗日量为：

$L = \frac{1}{2} m \dot{q}^2 + \frac{q}{c} \dot{q} \cdot \vec{A} - qφ$

分别定义两种正则动量：

$p=\frac{∂ L}{∂ \dot{q}} = m\dot{q} + I \frac{\dot{q}}{r} $

$p=\frac{∂ L}{∂ \dot{q}} = m \dot{q} + q \vec{A}$

设总速度为：

$\vec{v}_{总} = \vec{v} +\vec{ω}×\vec{r}$

动能为：

$ \frac{1}{2}m(\vec{v}+\vec{ω}×\vec{r})^2 = \frac{1}{2}m\vec{v}^2 +m \vec{v}\cdot(\vec{ω}× \vec{r})+\frac{1}{2}m(\vec{ω} × \vec{r})^2$

拉格朗日量：

$L = \frac{1}{2} m \vec{v}^2 + m \vec{v} \cdot (\vec{ω}× \vec{r}) + \frac{1}{2} m (\vec{ω} ×\vec{r})^2 - V(r)$

注意向量恒等式：

$\vec{v} \cdot (\vec{ω} × \vec{r}) = \vec{ω} \cdot (\vec{r}× \vec{v}) = - \vec{ω} \cdot (\vec{v} ×\vec{r})$

因此：

引入等效力：

$\vec{F}_{等效} = q \vec{v} ×\vec{B}$

均匀磁场中的拉格朗日量

 $L= \frac{1}{2} m \vec{v}^2 - \frac{1}{2} m \vec{ω} \cdot \vec{L} - V(r)$

令：

$\vec{ω} = - \frac{q \vec{B}}{m}$

则：

$L = \frac{1}{2} m \vec{v}^2 + \frac{1}{2} q \vec{B} \cdot \vec{L}_m$

展开为：

$ L= \frac{1}{2} m \vec{v}^2 + \frac{1}{2} q B θ r^2$

角运动形式：

 $L= \frac{1}{2} m \dot{θ}^2 R^2 + \frac{1}{2} q B \dot{θ} R^2$

正则动量：

$p_{正则} = \frac{∂ L}{∂ \dot{θ}} = m \dot{θ} R^2 + \frac{1}{2} q B R^2$

结论

正则动量在非均匀磁场中不能直接作为物理动量使用，因为其依赖于规范选择，且不满足经典动量守恒的直观理解