物理

〘栖岸计划〙拉格朗日方程

好了，先来认识一下基础的拉格朗日方程

快来看看吧

首先学习拉乘首先要确定使用范围，它是适用于保守力，即可以用势能表达的力，虽然不代表它不适用于非保守力，只是在处理非保守力时，你很难找出它的势能项，那么拉格朗日$L$就会较难表达

我们先来看一下拉格朗日方程的基本形式

其中$L=K-P$ $K$则代表动能项，$P$则是势能项(这就是为什么我说有非保守力难分析了吧)

$q$则是广义坐标，比如球坐标$(r,θ,φ)$ 柱坐标$(r,θ,z)$我们大部分的题无非就是这两个坐标规律

那我们很明显可以看出，上述式子特别适合算简谐振动，因为简谐振动通常都是保守力体系，大部分的题我们甚至都只需要算动能项与势能项就可算他们的体系了

我们来做一道简谐振动的题

单摆

一质量为$m$小球，在二维平面内做单摆运动，那么他的广义坐标就为$θ$

我们先不求太过复杂的系统，只要记住，我们只需对每一个自由度的广义坐标都列一次方程就可以了，爆蒜永远是王道

那针对于单摆，我们有$\dot{\theta}=\omega $

$K=\frac{1}{2}m\dot{\theta }^2{l}^2$

$P=-mgl(1-\cos(\theta ))$

$L=K-P=\frac{1}{2}m\dot{\theta }^2{l}^2-mgl(1-\cos(\theta ))$常数项扔掉

$L=K-P=\frac{1}{2}m\dot{\theta }^2{l}^2+mgl\cos(\theta )$

则$\frac{\partial L}{\partial \theta }=mgl\sin(\theta )$

$\frac{\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}}{dt}=m\ddot{\theta }^2{l}^2$

导入拉格日朗方程$m\ddot{\theta }^2{l}^2+mgl\sin(\theta )=0$(无非保守力，所以广义力为零)

消去$m$,将$\sin(\theta )$小量近似

$\ddot{\theta }^2{l}+g\theta =0$

一眼就得到了简谐振动方程

我们发现，理论力学将复杂的力学分析变为了复杂的计算，那对于广大物理竞赛生来说，这倒是个好消息，复杂的计算永远都不是问题，但复杂的思维分析却是个很难的事

放个题练练手

可能要算第一问，第二问用拉乘则要算两个自由度，列两个拉格朗日方程就好