物理 〘栖岸计划〙拉格朗日方程
我决定用理论力学知识标准写一篇难度更高的$Euler—lagrange方程$
正则动量与拉格朗日量分析
正则动量与动量
在刚体绕轴转动中，我们常常会在动能项中分离出项：
$E_k = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I ω^2$
根据正则动量的定义：
拉格朗日量为：
$L = E_k - E_p$
取：
在电磁场中，磁势矢势 $\vec{A}$的势能项为：
$V = q \vec{v}× \vec{A}$
其拉格朗日量为：
$L = \frac{1}{2} m \dot{q}^2 + \frac{q}{c} \dot{q} \cdot \vec{A} - qφ$
分别定义两种正则动量：
$p=\frac{∂ L}{∂ \dot{q}} = m\dot{q} + I \frac{\dot{q}}{r} $
$p=\frac{∂ L}{∂ \dot{q}} = m \dot{q} + q \vec{A}$
设总速度为：
$\vec{v}_{总} = \vec{v} +\vec{ω}×\vec{r}$
动能为：
$ \frac{1}{2}m(\vec{v}+\vec{ω}×\vec{r})^2 = \frac{1}{2}m\vec{v}^2 +m \vec{v}\cdot(\vec{ω}× \vec{r})+\frac{1}{2}m(\vec{ω} × \vec{r})^2$
拉格朗日量：
$L = \frac{1}{2} m \vec{v}^2 + m \vec{v} \cdot (\vec{ω}× \vec{r}) + \frac{1}{2} m (\vec{ω} ×\vec{r})^2 - V(r)$
注意向量恒等式：
$\vec{v} \cdot (\vec{ω} × \vec{r}) = \vec{ω} \cdot (\vec{r}× \vec{v}) = - \vec{ω} \cdot (\vec{v} ×\vec{r})$
因此：
引入等效力：
$\vec{F}_{等效} = q \vec{v} ×\vec{B}$
均匀磁场中的拉格朗日量
$L= \frac{1}{2} m \vec{v}^2 - \frac{1}{2} m \vec{ω} \cdot \vec{L} - V(r)$
令：
$\vec{ω} = - \frac{q \vec{B}}{m}$
则：
$L = \frac{1}{2} m \vec{v}^2 + \frac{1}{2} q \vec{B} \cdot \vec{L}_m$
展开为：
$ L= \frac{1}{2} m \vec{v}^2 + \frac{1}{2} q B θ r^2$
角运动形式：
$L= \frac{1}{2} m \dot{θ}^2 R^2 + \frac{1}{2} q B \dot{θ} R^2$
正则动量：
$p_{正则} = \frac{∂ L}{∂ \dot{θ}} = m \dot{θ} R^2 + \frac{1}{2} q B R^2$
结论
正则动量在非均匀磁场中不能直接作为物理动量使用，因为其依赖于规范选择，且不满足经典动量守恒的直观理解
- 1
填完坑就应该彻底离开了，祝大家前程似景
这则贝尔原理 $\sum_{i=1}^n (\mathbf{F}_i - m_i \ddot{\mathbf{r}}_i) \cdot S_{i0} = 0$
这则贝尔原理 推导拉格朗日方程(最普通形式) 并推导
$\sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i \cdot S_{i0} = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i \cdot \left( \sum_{a=1}^n \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_a} S_{ia} \right)$
即得向量 $\mathbf{r}$ 为力为 $q_a$ 坐标(计算解为分量了化, 即力坐标分量)
$= \sum_{a=1}^n \left( \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_a} \right) S_{ia}$
$= \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i \cdot S_{ia} = Q_a$
$\sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i \cdot S_{i0} = \sum_{a=1}^n Q_a S_{ia}$
直接理解：$\mathbf{F}_i \rightarrow Q_a$ 为力为化
$\mathbf{r} \rightarrow q_a$ 坐标 $\rightarrow$ 力
$-\sum_{i=1}^n m_i \ddot{\mathbf{r}}_i \cdot S_{i0} = -\sum_{i=1}^n m_i \ddot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_a} S_{ia}$
$= -\sum_{i=1}^n m_i \frac{d}{dt} \left( \dot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_a} \right) S_{ia}$
补充拉格朗日关系
$\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_a} &= \frac{\partial \dot{\mathbf{r}}_i}{\partial \dot{q}_a}
\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_a} &= \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial \dot{q}_a} \right)\right$
$\theta = -\sum_{i=1}^{n} m_i \ddot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_a} \delta q_a$
$\sum_{i=1}^{n} m_i \frac{d}{dt} \left( \dot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_a} \right) = -\sum_{i=1}^{n} m_i \ddot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_a} \right)$
$\frac{\partial}{\partial \dot{q}_a} \left( \dot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_a} \right) = \frac{1}{2} \left( \dot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial^2 \mathbf{r}_i}{\partial q_a \partial \dot{q}_a} + \dot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial^2 \mathbf{r}_i}{\partial \dot{q}_a \partial q_a} \right)$
则 $\Omega = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial}{\partial q_\beta} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} m_i |\dot{\mathbf{r}}_i|^2 \right) - \sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial q_\beta} \left[ \frac{1}{2} m_i |\dot{\mathbf{r}}_i|^2 \right]$
$= \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\beta} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_\beta}$
代回
$\sum_{a=1}^{s} Q_a S q_a = \left[ \frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_a} \sum_{a=1}^{s} \frac{1}{2} m |\dot{\mathbf{r}}_i|^2 - \frac{\partial}{\partial q_a} \sum_{a=1}^{s} \frac{1}{2} m |\dot{\mathbf{r}}_i|^2 \right] S q_a = 0$
