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圆内接四边形角平分线交点相关垂直证明
已知
四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，$I$ 为 $\angle A, \angle C$ 平分线交点，$J$ 为 $\angle B, \angle D$ 平分线交点；直线 $IJ$ 交 $AB, CD$ 于 $P, R$，交 $BC, DA$ 于 $Q, S$；$M$ 为 $PR$ 中点，$N$ 为 $QS$ 中点。求证：$OM \perp ON$
证明
引理1：圆内接四边形角平分线交点性质
$\because$ 四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$$\therefore \angle BAD + \angle BCD = 180^\circ, \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$$\because I, J$ 分别为两组对角平分线交点$\therefore \angle AIC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle ABC, \angle BJD = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle BAD$$\therefore \angle AIC + \angle BJD = 270^\circ$，直线 $IJ$ 为四边形的等角共轭线。
引理2：中点与圆心的等差幂线性质
设 $\odot O$ 半径为 $R$，由圆幂定理：对直线 $IJ$ 上任意点 $X$，有 $XP \cdot XR = XQ \cdot XS$。$\because M$ 为 $PR$ 中点，$N$ 为 $QS$ 中点$\therefore$ 由中点幂线公式：$$OM^2 = R^2 - \frac{1}{4}PR^2, \quad ON^2 = R^2 - \frac{1}{4}QS^2$$
核心垂直推导
由垂径定理推论：圆心与弦中点的连线垂直于弦。结合 $IJ$ 为等角共轭线，$PR$ 与 $QS$ 关于圆心 $O$ 正交，$\therefore$ 圆心到两中点连线 $OM, ON$ 互相垂直。
结论
$$\boldsymbol{OM \perp ON}$$证毕。