物理

浅谈欧几里德空间与闵可夫斯基空间关系

在欧几里德空间中，保持不变的是距离、角度和内积，对应正交变换，由三角函数描述。  

在闵可夫斯基空间中，保持不变的是伪内积（时空间隔），对应洛伦兹变换（boosts），由双曲函数描述。

三角函数参数化单位圆：  

$x = \cos\theta, \quad y = \sin\theta, \quad x^2 + y^2 = 1$

双曲函数参数化单位双曲线：  

$x_0 = \cosh\phi, \quad x_1 = \sinh\phi, \quad x_0^2 - x_1^2 = 1$

洛伦兹变换矩阵为：  

$\begin{bmatrix}\cosh\phi & \sinh\phi \\\sinh\phi & \cosh\phi\end{bmatrix}$

因此，双曲函数在闵可夫斯基空间中的地位，相当于三角函数在欧几里德空间中的作用——描述基本对称性。

这是做为我洛伦兹变换的知识前瞻，两者搭配使用更佳