物理

浅谈洛伦兹变换

标题可能令人陌生，但是提到狭义相对论时间膨胀与长度压缩，大家都不会陌生，高中课本还细心的留了一条结论，然后就留下了一脸蒙蔽的读者

今天我来讲一下例如这种公式$Δl=l_0sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$的洛伦兹变换推导过程

我们在$A(ct,x,y,z)$ $B(ct',x',y',z')$ 两个参考坐标系中有

有洛伦兹变换齐次方程

$ct'=a_00 ct+ a_01x +a_02 y+a_03 z$

 $x'=a_10 ct+ a_11x +a_12 y+a_13 z$

 $y'=a_20 ct+ a_21 x +a_22 y+a_23 z$

 $z'=a_30 ct+ a_31 x +a_32 y+a_33 z$

我们在A参考系中，有一质点延x正方向运动，速度为$v_c$

则在B参考系中，因为质点具有对称性，$y'=y$ $z'=z$

则仍存在可分析变量

$ct'=a_00 ct+a_01 x$

$x'=a_10 ct +a_11 x$

我们又有一个关键信息，等光程，光速不管在什么参考系中都不变

那我们得到$s^2=(ct)^2-x^2-y^2-z^2=(ct')^2-x'^2-y'^2-z'^2$

我们知道$y'=y$ $z'=z$

则$(ct)^2-x^2=(ct')^2-x'^2$

带入上式

$(a_00 ct+a_01 x)^2+(a_10 ct +a_11 x)^2=(ct)^2+(x)^2$

上式我们化简可以得到(直接将齐次项对比即可)

${a_00}^2-{a_10}^2=1$

$a_00 a_01- a_10 a_11=0$

${a_10}^2-{a_11}^2=1$

明眼人依然看出，这不就是双曲正余弦形式吗？

设$a_00= \cosh(\kappa_1 )   a_01=-\sinh(\kappa_1 )$

$a_11= \cosh(\kappa_2 ) a_10=-\sinh(\kappa_2 )$

由$a_00 a_01- a_10 a_11=0$得

$cosh \kappa_1 cdot sinh \kappa_2 - sinh \kappa_2 cdot cosh \kappa _1 = sinh(\kappa_2 - \kappa_1) = 0$

$\kappa_1=\kappa_2$

好了，再带入上式

$ct'=a_00 ct+a_01 x$

$x'=a_10 ct +a_11 x$

得到

$ct'=\cosh(\kappa ) ct-\sinh(\kappa )x$

$x'=-\sinh(\kappa )a_10 ct +\cosh(\kappa )x$

我们可以得到

$\frac{x'}{ct'}=\frac{v_c}{c}$

在该坐标系中，易得$\tanh(\kappa )=\frac{v_r}{c}$(坐标斜率)

$\cosh(\kappa )=\frac{1}{\sqrt{1-\tanh^2(\kappa )}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_c^2}{c^2}}}$

$\sinh(\kappa )=\frac{\frac{v_c}{c}}{\sqrt{1-\frac{v_c^2}{c^2}}}$

再带入上式即可