物理

浅谈洛伦兹变换

$伟大的时间长度膨胀公式竟然来源于最朴素的三角变换?$

洛伦兹变换薄纱伽利略变换

标题可能令人陌生，但是提到狭义相对论时间膨胀与长度压缩，大家都不会陌生，高中课本还细心的留了一条结论，然后就留下了一脸蒙蔽的读者

今天我来讲一下例如这种公式$Δl=l_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$的洛伦兹变换推导过程

我们在$A(ct,x,y,z)$ $B(ct',x',y',z')$ 两个参考坐标系中有

有洛伦兹变换齐次方程

$ct'=a_{00} ct+ a_{01}x +a_{02} y+a_{03} z$

 $x'=a_{10} ct+ a_{11}x +a_{12} y+a_{13} z$

 $y'=a_{20} ct+ a_{21} x +a_{22} y+a_{23} z$

 $z'=a_{30} ct+ a_{31} x +a_{32} y+a_{33} z$

我们在A参考系中，有一质点延x正方向运动，速度为$v_c$

则在B参考系中，因为质点具有对称性，$y'=y$ $z'=z$

则仍存在可分析变量

$ct'=a_{00} ct+a_{01} x$

$x'=a_{10} ct +a_{11} x$

我们又有一个关键信息，等光程，光速不管在什么参考系中都不变

那我们得到$s^2=(ct)^2-x^2-y^2-z^2=(ct')^2-x'^2-y'^2-z'^2$

我们知道$y'=y$ $z'=z$

则$(ct)^2-x^2=(ct')^2-x'^2$

带入上式我们化简可以得到(直接将齐次项对比即可)

${a_{00}}^2-{a_{10}}^2=1$

$a_{00} a_{01}-a_{10} a_{11}=0$

${a_{10}}^2-{a_{11}}^2=1$

明眼人看出，这不就是双曲正交矩阵(伪欧几里德空间,洛伦兹变换矩阵)的形式吗？

(欧几里德规度二维正交空间，旋转变换矩阵)正交矩阵则是这样形式

${a_{00}}^2+{a_{10}}^2=1$

$a_{00} a_{01}+a_{10} a_{11}=0$

${a_{10}}^2+{a_{11}}^2=1$

继续证明

设

$a_{11}=\cosh(\kappa_2 )a_{10}=-\sinh(\kappa_2 )$

由$a_{00} a_{01}- a_{10} a_{11}=0$得

$\kappa_1 =\kappa_2 $

好了，再带入上式

$ct'=a_{00}ct+a_{01}x$

$x'=a_{10}ct +a_{11}x$

得到

$ct'=\cosh(\kappa )ct-\sinh(\kappa )x$

$x'=-\sinh(\kappa )a_{10}ct +\cosh(\kappa )x$

我们可以得到

$\frac{x'}{ct'}=\frac{v_c}{c}$

在该坐标系中，易得

$\cosh(\kappa )=\frac{1}{\sqrt{1- \tanh^2(\kappa )}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_c^2}{c^2}}}=\gamma $

$\sinh(\kappa )=\frac{\frac{v_c}{c}}{\sqrt{1-\frac{v_c^2}{c^2}}}$

再带入上式

$ct'=\gamma (ct-\beta x)$

$x'=\gamma (\beta ct-x)$

$y=y'$

$z=z'$

经过复杂而漫长的计算，我们终于解出了x与x'的关系，t与t’的关系