物理 循环水贴，
就不多开一个帖了，水大家眼睛。。。把它当成一轮二轮大部分积分的屠龙宝刀吧
数学物理基础
- 函数定义：
$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 2\cos\theta x + x^2}} $
- 勒让德多项式展开：
$ P_0(\cos\theta) = 1 $
$ P_1(\cos\theta) = \cos\theta \cdot x $
$ P_2(\cos\theta) = \frac{3\cos\theta - 1}{2} \cdot x $
$ P_3(\cos\theta) = \frac{-3\cos\theta + 5\cos^3\theta}{2} \cdot x^2 $
$Γ$函数
- 定义：
$ \Gamma(t) = \int_0^\infty e^{-x} x^{t-1} dx $
- 性质：
$ \Gamma(t) = (t-1)! $
- Beta函数关系：
$ B(m,n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)} $
- Beta函数积分表示：
$ \int_0^{\pi/2} \sin^m\theta \cdot \cos^n\theta d\theta = B(m,n) $
- 递推公式：
$ B(m,n) = \frac{n-1}{m+1} B(m+2, n-2) $
$ B(m,n) = \frac{m!}{m n} B(m,n-2) $
Gauss's 积分
- 定义：
$ G_n(\alpha) = \int_0^\infty e^{-\alpha x^2} x^n dx $
- 具体值：
$ G_0(\alpha) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} $
$ G_1(\alpha) = \frac{1}{2\alpha} $
$ G_2(\alpha) = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha^3}} $
$ G_3 = \frac{1}{2\alpha^2} $
$ G_4(\alpha) = \frac{3}{8} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha^5}} $
- 微分关系：
$ \frac{d}{d\alpha} G_n(\alpha) = G_{n+2}(\alpha) $
$ζ函数$（黎曼函数）
- 定义：
$ \zeta(n) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^n} $
- 特殊值：
$ \zeta(1) = \infty $
$ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} $
$ \zeta(3) = \text{Apéry's const} $
$ \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90} $
---
**等比数列求和**
- 有限项和：
$ S = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^n $
- 无穷级数和：
$ S_\infty = \sum_{n=0}^\infty ar^n $
- 与ζ函数的关系：
$ \frac{1}{S(n)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{k^n} = \zeta(n) $
这里将一下对于自由度的理解，一般来说自由度是物体在任意空间内平动和转动的变量
变量是自由度的核心，czx告诉我们，一个守恒可以干掉一个自由度，其原因就是因为它可以列出一个初态和任意态时的等效方程，然后用一个变量去表示另一个变量，那么一个变量就被干掉了
一般来说，三维运动会有6个自由度$x~y~z~α~β~γ$二维运动则只有三个$x~y~θ$毕竟你无论绕哪个轴都可以等效为绕原点转动
然后写个${cos{α}}^2+ {cos{β}}^2 +{cos{γ}}^2=1$这么一个恒等式
当看到自由度时，不必费解，那就是物体在运动时的“变量”而已
比如简正模，和球坐标柱坐标运动，通常都是多自由度运动
在分析自由度问题时，我们都是在表示一个又一个自由度的搬砖路程
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