物理

多方过程(简单实用

我们学完了查理定律，却发现实际做题时单定容条件并不可以满足我们的胃口

这时候，我们就可以用到一个非常好用的东西叫多方过程，算是一个官方给你整理公式了。

我们定义一个式子$pV^n=const$

那我们就有当$n=0$时 $p=const$ 此时体系热容为$C_p$

当$n=\infty$时，为了使函数不发散，$V=const$,此时体系热容为$C_v$

两者关系可用热学第一定律推导，即$C_v+R=C_p$

那$n=1$时，就是我们可爱又熟悉的$pV=const$

接下来到复杂一点的了，则当系统绝热时，即$dQ=0$

列微分方程$pdv+dU=0$，$dU=\mu C_vdT$   $d(pV)=d(\mu RdT)=\mu RdT$,，两式联立

$dU=\frac{C_v}{R}(\mu RdT)=\frac{C_v}{R}d(pV)=\frac{C_v}{R}(pdV+Vdp)$

带入上面的微分方程$\frac{C_v}{R}(pdV+Vdp)+pdV=0$

简单化简后$\frac{C_v+R}{R}pdV+\frac{C_v}{R}Vdp=0$

同除一个$\frac{C_v}{R}$ 得到$\frac{C_v+R}{C_v} pdV+Vdp=0$

设$\frac{C_v+R}{C_v}=\frac{C_p}{C_v}=\delta $

化简为$\delta pdV+Vdp=0$

同乘一个$V^{\delta -1}$

$pd(V^\delta )+V^\delta dp=0$

$d(pV^\delta )=0$

所以$pV^\delta =const$

更新啦！

当在 $pV^n=const$

 $n=-1$

$p=kV$

上式 $dQ=dU+pdV$（热力学第一定律）

$dU=\mu C_vdT$

$d(pV)=\mu RdT$

$dU=\frac{C_v}{R}\mu R dT =\frac{C_v}{R} d(pV)$

代入上式

$dQ= pdV + \frac{C_v}{R} (pdV + Vdp) $

$dQ = \frac{C_v + R}{R} pdV + \frac{C_v}{R}Vdp$       $pdV = Vdp = \frac{1}{2} d(kV^2)$

$dQ= (\frac{C_v + R}{R}+\frac{C_v}{R})\frac{1}{2} d(kV^2)$则可以得到

$C_{mol}= \frac{dQ}{\mu dT} = \frac{dQ}{\mu d(\frac{pV}{\mu R})} = \frac{dQ}{\frac{1}{R} d(kV^2)} =\frac{2C_v + R}{R}\frac{R}{2} $

最终结论

$C_{mol}= C_v+ \frac{R}{2}$