物理

多方过程(简单实用

这时候，我们就可以用到一个非常好用的东西叫多方过程，算是一个官方给你整理公式了。

我们定义一个式子$pV^n=const$

那我们就有当$n=0$时 $p=const$ 此时体系热容为$C_p$

当$n= \infty$时，为了使函数不发散，$V=const$,此时体系热容为$C_v$

两者关系可用热学第一定律推导，即$C_v+R=C_p$

那$n=1$时，就是我们可爱又熟悉的$pV=const$

接下来到复杂一点的了，则当系统绝热时，即$dQ=0$

列微分方程$pdv+dU=0$，$dU=\mu C_vdT$   $d(pV)=d(\mu RdT)=\mu RdT$,，两式联立

$dU=\frac{C_v}{R}(\mu RdT)=\frac{C_v}{R}d(pV)=\frac{C_v}{R}(pdV+Vdp)$

带入上面的微分方程$ \frac{C_v}{R}(pdV+Vdp)+pdV=0$

简单化简后$ \frac{C_v+R}{R}pdV+ \frac{C_v}{R}Vdp=0$

同除一个$ \frac{C_v}{R}$ 得到$ \frac{C_v+R}{C_v} pdV+Vdp=0$

设$ \frac{C_v+R}{C_v}= \frac{C_p}{C_v}= \delta $

化简为$ \delta pdV+Vdp=0$

同乘一个$V^{\delta -1}$

$pd(V^\delta )+V^\delta dp=0$

$d(pV^2\delta )=0$

所以$pV^\delta =const$

当在 $pV^n=const$

 $n=-1$

$p=kV$

上式 $dQ=dU+pdV$（热力学第一定律）

$dU=\mu C_vdT$

$d(pV)=\mu RdT$

$dU= \frac{C_v}{R} \mu R dT = \frac{C_v}{R} d(pV)$

代入上式

$dQ= pdV + \frac{C_v}{R} (pdV + Vdp) $

$dQ = \frac{C_v + R}{R} pdV + Vdp$       $pdV = Vdp = \frac{1}{2} d(kV^2)$

$dQ=  \frac{C_v + R}{R} + 1}\frac{1}{2} d(kV^2)$则可以得到

$C_mol= \frac{dQ}{mu dT} = \frac{dQ}{mu +d(\frac{pV}{mu R})} = \frac{dQ}{\frac{1}{R} d(kV^2)} =(\frac{C_v + R}{R} + 1) \frac{R}{2} $

$=\frac{1}{2}(C_v + R) + \frac{R}{2}$

最终结论

$C_mol= C_v+ \frac{R}{2}$