物理

[微积分的那些事]-第二回目：微分学-第七章：洛必达法则与未定式极限

当你手足无措时……

7.1 未定式回顾

在求解极限时，我们经常会遇到以下几种不能直接使用极限运算法则的情况，统称为未定式：

1. 0/0型：$\lim \frac{f(x)}{g(x)}$，其中$f(x) \to 0$，$g(x) \to 0$
2. ∞/∞型：$\lim \frac{f(x)}{g(x)}$，其中$f(x) \to \infty$，$g(x) \to \infty$
3. 0·∞型：$\lim f(x)g(x)$，其中$f(x) \to 0$，$g(x) \to \infty$
4. ∞ - ∞型：$\lim [f(x) - g(x)]$，其中$f(x) \to \infty$，$g(x) \to \infty$
5. 1^∞型：$\lim f(x)^{g(x)}$，其中$f(x) \to 1$，$g(x) \to \infty$
6. 0^0型：$\lim f(x)^{g(x)}$，其中$f(x) \to 0^+$，$g(x) \to 0$
7. ∞^0型：$\lim f(x)^{g(x)}$，其中$f(x) \to \infty$，$g(x) \to 0$

洛必达法则主要直接处理前两种：0/0型和∞/∞型。其他五种未定式，我们通过代数变形，都可以转化为这两种类型来处理。

7.2 洛必达法则

7.2.1 定理内容

定理（洛必达法则I——0/0型）：设函数$f(x)$和$g(x)$满足：

1. $\lim_{x \to a} f(x) = 0$，$\lim_{x \to a} g(x) = 0$；
2. 在点$a$的某去心邻域内，$f'(x)$和$g'(x)$都存在，且$g'(x) \neq 0$；
3. $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在（或为无穷大）；

那么：$$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$

定理（洛必达法则II——∞/∞型）：将条件1改为$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$，$\lim_{x \to a} g(x) = \infty$，其他条件相同，结论依然成立。

说明：

• 法则对$x \to a^+$、$x \to a^-$、$x \to \infty$等极限过程同样适用。
• 如果$\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$仍然是不定式，且满足条件，可以继续使用洛必达法则。
• 如果$\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$不存在（且不为无穷大），不能断定原极限不存在，此时洛必达法则失效。

7.2.2 证明思路

洛必达法则的证明基于柯西中值定理。以0/0型为例：

• 补充定义$f(a) = 0$，$g(a) = 0$，则函数在$[a, x]$上满足柯西中值定理条件。
• 存在$\xi$介于$a$与$x$之间，使得$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$。
• 当$x \to a$时，$\xi \to a$，两边取极限即得结论。

∞/∞型的证明稍复杂，但思想类似。

7.3 洛必达法则的应用

7.3.1 0/0型极限

例1：求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

解：

• 当$x \to 0$时，$\sin x \to 0$，$x \to 0$，是0/0型。
• $f'(x) = \cos x$，$g'(x) = 1$。
• $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$。
• 所以原极限 $= 1$。

例2：求极限$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

解：

• 0/0型。分子导数：$\sin x$，分母导数：$2x$。
• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x}$，仍然是0/0型。
• 再次使用洛必达法则：分子导数$\cos x$，分母导数$2$。
• $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}$。
• 所以原极限 $= 1/2$。

例3：求极限$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$

解：

• 0/0型。分子导数：$e^x - 1$，分母导数：$2x$。
• $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$，仍然是0/0型。
• 再次使用：分子导数$e^x$，分母导数$2$。
• $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$。
• 所以原极限 $= 1/2$。

7.3.2 ∞/∞型极限

例4：求极限$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$

解：

• 当$x \to +\infty$时，$\ln x \to +\infty$，$x \to +\infty$，是∞/∞型。
• 分子导数：$1/x$，分母导数：$1$。
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$。
• 所以原极限 $= 0$。

例5：求极限$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x}$（$n$为正整数）

解：

• ∞/∞型。连续使用$n$次洛必达法则：
• 第一次：$\frac{nx^{n-1}}{e^x}$
• 第二次：$\frac{n(n-1)x^{n-2}}{e^x}$
• ……
• 第$n$次：$\frac{n!}{e^x}$
• 当$x \to +\infty$时，$\frac{n!}{e^x} \to 0$。
• 所以原极限 $= 0$。

例6：求极限$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\cot x}$

解：

• 当$x \to 0^+$时，$\ln x \to -\infty$，$\cot x \to +\infty$，是∞/∞型。
• 分子导数：$1/x$，分母导数：$-\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$。
• $\lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/\sin^2 x} = \lim_{x \to 0^+} -\frac{\sin^2 x}{x}$
• $= -\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{\sin x}{x} \cdot \sin x \right) = -1 \cdot 0 = 0$。
• 所以原极限 $= 0$。

7.4 其他未定式的转化

7.4.1 0·∞型

对于$\lim f(x)g(x)$，其中$f(x) \to 0$，$g(x) \to \infty$，可以转化为：$$ \lim f(x)g(x) = \lim \frac{f(x)}{1/g(x)} \quad \text{或} \quad \lim \frac{g(x)}{1/f(x)} $$前者变为0/0型，后者变为∞/∞型。

例7：求极限$\lim_{x \to 0^+} x \ln x$

解：

• 这是0·∞型（$x \to 0$，$\ln x \to -\infty$）。
• 转化为：$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x}$，这是∞/∞型。
• 使用洛必达法则：分子导数$1/x$，分母导数$-1/x^2$。
• $\lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$。
• 所以原极限 $= 0$。

例8：求极限$\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x}$

解：

• 这是0·∞型？当$x \to \infty$时，$x \to \infty$，$\sin(1/x) \to 0$，确实是0·∞型。
• 转化为：$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin(1/x)}{1/x}$，令$t = 1/x$，则$t \to 0^+$。
• 原极限 $= \lim_{t \to 0^+} \frac{\sin t}{t} = 1$。

7.4.2 ∞ - ∞型

对于$\lim [f(x) - g(x)]$，其中两者都趋于无穷大，通常通过通分、有理化或提取公因式等方法转化为0/0或∞/∞型。

例9：求极限$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x} \right)$

解：

• 当$x \to 0$时，$1/x \to \infty$，$1/\sin x \to \infty$，是∞ - ∞型。
• 通分：$\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - x}{x \sin x}$
• 当$x \to 0$时，分子$\sin x - x \to 0$，分母$x \sin x \to 0$，转化为0/0型。
• 使用洛必达法则：分子导数$\cos x - 1$，分母导数$\sin x + x \cos x$。
• 当$x \to 0$时，$\cos x - 1 \to 0$，$\sin x + x \cos x \to 0$，仍然是0/0型。
• 再次使用洛必达：分子导数$-\sin x$，分母导数$\cos x + \cos x - x \sin x = 2\cos x - x \sin x$。
• $\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2\cos x - x \sin x} = \frac{0}{2} = 0$。
• 所以原极限 $= 0$。

7.4.3 幂指函数型（$0^0$，$1^\infty$，$\infty^0$）

对于$\lim [f(x)]^{g(x)}$，取自然对数转化为：$$ \lim [f(x)]^{g(x)} = e^{\lim g(x) \ln f(x)} $$而$\lim g(x) \ln f(x)$是0·∞型，可以进一步转化。

例10：求极限$\lim_{x \to 0^+} x^x$

解：

• 这是$0^0$型。设$y = x^x$，则$\ln y = x \ln x$。
• 由例7，$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$。
• 所以$\lim_{x \to 0^+} \ln y = 0$，即$\lim_{x \to 0^+} y = e^0 = 1$。
• 因此$\lim_{x \to 0^+} x^x = 1$。

例11：求极限$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$

解：

• 这是$1^\infty$型。设$y = (1 + x)^{1/x}$，则$\ln y = \frac{1}{x} \ln(1 + x)$。
• 当$x \to 0$时，$\ln(1 + x) \sim x$，所以$\frac{1}{x} \ln(1 + x) \to 1$。
• 严格用洛必达：$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}$是0/0型。
• 分子导数$\frac{1}{1+x}$，分母导数$1$，极限为$1$。
• 所以$\lim \ln y = 1$，$\lim y = e$。
• 这就是第二个重要极限：$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$。

例12：求极限$\lim_{x \to 0^+} (\cot x)^{\frac{1}{\ln x}}$

解：

• 这是$\infty^0$型。当$x \to 0^+$时，$\cot x \to +\infty$，$1/\ln x \to 0$。
• 设$y = (\cot x)^{1/\ln x}$，则$\ln y = \frac{1}{\ln x} \ln(\cot x)$。
• 当$x \to 0^+$时，$\cot x \sim 1/x$，所以$\ln(\cot x) \sim -\ln x$。
• 因此$\ln y \sim \frac{-\ln x}{\ln x} = -1$。
• 严格用洛必达：$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(\cot x)}{\ln x}$是∞/∞型。
• 分子导数：$\frac{1}{\cot x} \cdot (-\csc^2 x) = -\frac{\csc^2 x}{\cot x} = -\frac{1}{\sin^2 x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{1}{\sin x \cos x}$
• 分母导数：$1/x$
• 所以$\lim \frac{\ln(\cot x)}{\ln x} = \lim \frac{-1/(\sin x \cos x)}{1/x} = \lim \frac{-x}{\sin x \cos x} = -1$
• 因此$\lim \ln y = -1$，$\lim y = e^{-1}$。

7.5 使用洛必达法则的注意事项

7.5.1 必须先验证条件

在使用洛必达法则前，一定要先判断是否为0/0或∞/∞型。如果不是，不能直接使用。

例13：求极限$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x}$

错误做法：

• 直接求导：分子导数$2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$，分母导数$\cos x$。
• 当$x \to 0$时，$\cos \frac{1}{x}$振荡，极限不存在，所以原极限不存在？——错误！

正确分析：

• 当$x \to 0$时，$x^2 \sin \frac{1}{x} \to 0$（有界量×无穷小），$\sin x \to 0$，确实是0/0型。
• 但分子$x^2 \sin(1/x)$在0处可导吗？实际上它在0处可导：$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(1/h) = 0$所以在0处可导，且导数为0。
• 但在0的去心邻域内，$f'(x) = 2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$，这个函数在0附近振荡，$\lim_{x \to 0} f'(x)$不存在。
• 洛必达法则要求$\lim f'(x)/g'(x)$存在，这里$f'(x)$本身极限就不存在，所以不能用洛必达。

正确解法（夹逼准则）：

• $0 \leq |\frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x}| \leq \frac{x^2}{|\sin x|}$
• $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{|\sin x|} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot |x| = 1 \cdot 0 = 0$
• 由夹逼准则，原极限 $= 0$。

7.5.2 洛必达法则失效的情况

除了上面例13那种导数极限不存在的情况，还有：

例14：求极限$\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x}$

• 这是∞/∞型。用洛必达：分子导数$1 + \cos x$，分母导数$1$。
• $\lim_{x \to \infty} (1 + \cos x)$不存在（振荡），所以洛必达失效。
• 但原极限直接可求：$\frac{x + \sin x}{x} = 1 + \frac{\sin x}{x} \to 1 + 0 = 1$。

7.5.3 与其他方法结合使用

洛必达法则虽然强大，但不是万能的。有时结合等价无穷小替换、重要极限、夹逼准则等方法会更简单。

例15：求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$

解法一（洛必达）：

• 0/0型。第一次：分子导数$\sec^2 x - \cos x$，分母导数$3x^2$。
• 第二次：分子导数$2\sec^2 x \tan x + \sin x$，分母导数$6x$。
• 第三次：……比较繁琐。

解法二（等价无穷小）：

• $\tan x - \sin x = \tan x (1 - \cos x) \sim x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}$
• 所以原极限 $= \lim \frac{x^3/2}{x^3} = \frac{1}{2}$。

显然解法二更简洁。

7.6 综合例题

例16：求极限$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x} \right)$

解：

• ∞ - ∞型。通分：$\frac{\sin^2 x - x^2}{x^2 \sin^2 x}$
• 当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，所以分母$\sim x^4$，分子$\sin^2 x - x^2 = (\sin x - x)(\sin x + x)$
• $\sin x - x \sim -\frac{x^3}{6}$，$\sin x + x \sim 2x$，所以分子$\sim -\frac{x^3}{6} \cdot 2x = -\frac{x^4}{3}$
• 因此原极限 $= \lim \frac{-x^4/3}{x^4} = -\frac{1}{3}$

若用洛必达，需要多次求导，计算量较大，但也可行。

例17：确定常数$a, b$，使得$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^3} + \frac{a}{x^2} + b = 0$

解：

• 通分：$\frac{\sin x + a x + b x^3}{x^3}$
• 要使极限为0，分子必须是比$x^3$高阶的无穷小。
• $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
• 所以$\sin x + a x + b x^3 = x - \frac{x^3}{6} + a x + b x^3 + o(x^3) = (1+a)x + (b - \frac{1}{6})x^3 + o(x^3)$
• 要使分子为$o(x^3)$，必须$1+a = 0$且$b - \frac{1}{6} = 0$。
• 解得$a = -1$，$b = \frac{1}{6}$。

思考题

1. 洛必达法则的条件中，为什么要求$g'(x) \neq 0$？
2. 对于$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x}$，为什么不能用洛必达法则？
3. 尝试用洛必达法则证明：$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$（$a > 0$）。
4. 是否存在极限可以用洛必达法则，但用其他方法更简单的情况？请举例。

【本章结束】