物理

[微积分的那些事]-第二回目：微分学-第五章：隐函数与参数方程求导

差点忘了自己还有个坑

换了种方式写公式，感觉这样合眼

1. 引言：为什么需要隐函数与参数方程求导？

在前面的章节中，我们学习的函数通常形式为 y = f(x)，例如 y = x²、y = sin x。这种形式被称为显函数——因变量 y 被显式地表示为自变量 x 的表达式。

然而，现实世界中的许多曲线关系并不总能或不易写成这种简洁形式：

• 隐函数：关系隐藏在方程 F(x, y) = 0 中。例如，描述圆的方程 x² + y² = 1。
• 参数方程：x 和 y 的关系通过第三个变量（参数，如 t 或 θ）联系起来。例如，描述平抛运动的轨迹 x = v₀t, y = ½gt²，或描述摆线的方程。

为了研究这些曲线的切线斜率（导数），我们需要掌握针对这两种形式的求导方法。本章将深入讲解这两种强大的微分工具。

2. 隐函数求导法

2.1 什么是隐函数？

如果变量 x 和 y 之间的函数关系由一个方程 F(x, y) = 0 确定，那么这种函数称为隐函数。

例如：x² + y² = 1 定义了一个隐函数（实际上是两个显函数 y = √(1-x²) 和 y = -√(1-x²)）。

2.2 隐函数求导的核心思想

隐函数求导的核心思想是：

1. 将 y 视为 x 的复合函数，即 y = y(x)。
2. 对方程 F(x, y) = 0 两边同时对自变量 x 求导。
3. 在求导过程中，遇到只含 x 的项，正常求导；遇到含 y 的项，先对 y 求导，再乘以 dy/dx（这就是复合函数求导法则——链式法则）。
4. 得到一个包含 dy/dx 的方程。
5. 解这个方程，将 dy/dx 用 x 和 y 表示出来。

2.3 经典例题

例1：求圆 x² + y² = 1 上任意一点的切线斜率。

1. 方程两边对 x 求导：d/dx (x²) + d/dx (y²) = d/dx (1)
2. 应用求导法则：2x + d/dx (y²) = 0这里 y² 是 y 的函数，而 y 又是 x 的函数。根据链式法则：d/dx (y²) = d/dy (y²) * dy/dx = 2y * (dy/dx)
3. 代入并整理：2x + 2y * (dy/dx) = 0
4. 解出 dy/dx：2y * (dy/dx) = -2xdy/dx = -x / y (其中 y ≠ 0)

结论：在圆上一点 (x₀, y₀) 处，切线的斜率为 -x₀ / y₀。

例2：求方程 y⁵ + xy - 2 = 0 确定的隐函数的导数。

1. 两边对 x 求导：d/dx(y⁵) + d/dx(xy) - d/dx(2) = 0
2. 分别处理：
   • d/dx(y⁵) = 5y⁴ * (dy/dx)
   • d/dx(xy) 是乘积法则：1*y + x*(dy/dx) = y + x(dy/dx)
3. 代入：5y⁴ (dy/dx) + y + x(dy/dx) = 0
4. 合并含有 dy/dx 的项：(5y⁴ + x)(dy/dx) + y = 0
5. 解出 dy/dx：(5y⁴ + x)(dy/dx) = -ydy/dx = -y / (5y⁴ + x)

2.4 隐函数求导的优点

• 无需解方程：当从方程中解出 y 很困难甚至不可能时（如例2），隐函数求导法是唯一可行的途径。
• 表达简洁：求出的导数通常同时包含 x 和 y，在表示曲线上所有点的斜率时非常统一。

3. 参数方程求导法

3.1 什么是参数方程？

有时，点的坐标 (x, y) 不是直接相关，而是通过一个共同的参数 t 联系起来：{ x = φ(t), y = ψ(t) }，其中 t 是参数。

例如：摆线（一个圆在直线上滚动时，圆上一点描绘的轨迹）的参数方程为：x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t)

3.2 一阶导数 dy/dx 的求法

我们的目标是求 y 对 x 的导数 dy/dx。由于 x 和 y 都是 t 的函数，我们可以利用链式法则：dy/dt = (dy/dx) * (dx/dt)由此可得参数方程的一阶导数公式：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) ，其中 dx/dt ≠ 0。

3.3 经典例题

例3：求摆线 x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t) 在 t = π/2 处的切线斜率。

1. 分别求 x 和 y 对参数 t 的导数：dx/dt = a(1 - cos t)dy/dt = a(sin t)
2. 应用公式：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = [a sin t] / [a(1 - cos t)] = sin t / (1 - cos t)
3. 代入 t = π/2：sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0dy/dx |_{t=π/2} = 1 / (1 - 0) = 1

结论：摆线在 t = π/2 对应点处的切线斜率为 1。

例4：求椭圆 x = a cos θ, y = b sin θ 在 θ = π/4 处的切线方程。

1. 求导：dx/dθ = -a sin θdy/dθ = b cos θ
2. 求斜率：dy/dx = (b cos θ) / (-a sin θ) = - (b/a) cot θ
3. 计算 θ = π/4 时的斜率：cot(π/4) = 1k = dy/dx |_{θ=π/4} = -b/a
4. 计算 θ = π/4 时的坐标：x₀ = a cos(π/4) = a(√2/2)y₀ = b sin(π/4) = b(√2/2)
5. 写出切线方程：y - y₀ = k (x - x₀)y - (√2/2)b = (-b/a)(x - (√2/2)a)

3.4 二阶导数 d²y/dx² 的求法（高阶拓展）

二阶导数是一阶导数的导数，但注意 dy/dx 通常仍是 t 的函数。因此，我们需要对 t 求导，再除以 dx/dt：d²y/dx² = d/dx (dy/dx) = [d/dt (dy/dx)] / (dx/dt)

例5：求例3中摆线的二阶导数。

1. 已知 dy/dx = sin t / (1 - cos t)
2. 化简一阶导数（利用半角公式 sin t = 2 sin(t/2) cos(t/2), 1 - cos t = 2 sin²(t/2)）：dy/dx = [2 sin(t/2) cos(t/2)] / [2 sin²(t/2)] = cot(t/2)
3. 对 t 求导：d/dt (dy/dx) = d/dt [cot(t/2)] = -csc²(t/2) * (1/2) = -½ csc²(t/2)
4. 除以 dx/dt：d²y/dx² = [d/dt (dy/dx)] / (dx/dt) = [ -½ csc²(t/2) ] / [ a(1 - cos t) ]
5. 利用 1 - cos t = 2 sin²(t/2) 化简：d²y/dx² = [ -½ csc²(t/2) ] / [ a * 2 sin²(t/2) ] = [ -½ csc²(t/2) ] / [ 2a sin²(t/2) ]= -1 / [4a sin⁴(t/2)] (因为 csc² = 1/sin²)

4. 两种方法的对比与联系

联系：

• 它们都源于复合函数求导的链式法则，是链式法则在不同函数表现形式下的应用。
• 参数方程可以看作是隐函数的一种特殊形式。有时，一个隐函数也可以通过引入参数转化为参数方程。