数学

三种不一样的双曲线？

$\Huge{Part0：引言}$

这，是我们$\sout{小学二年级就}$熟知的双曲线：$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$

而这，是我们不熟知的双曲线：$y=\dfrac{k}{x}(k{\neq}0)$

这时，有的同学就要问了：这不是反比例函数吗🤔？怎么又变成双曲线了？？？

在初中，老师们都会把"反比例函数的图像是一条双曲线"作为一个结论直接告诉学生，但是，它的图像为什么是双曲线？

有的同学就会说，老师这个题我可知道了！🤓用双曲线的定义！

平面内到两个定点的距离之差的绝对值为定值(小于两点间距且不为0)的所有点构成的集合是双曲线

但是这个想法有一个致命的漏洞！

如何找到那两个定点呢？

这么大的一个平面，总不能一个个去试吧🤣🤣🤣

就在你为此苦思冥想之际，旁边有一个高人🤓悄悄对你说：

为什么不把曲线旋转过来再做呢？

此时的你恍然大悟☝️🤓于是决定以此证明反比例函数是双曲线

当然，在证明之前，也需要有一些必要的准备：

$Huge{\Part1：坐标旋转公式}$

要把函数图像进行旋转，就需要让每个点都进行旋转，为此，你打算先推导出平面内任意一点的坐标旋转公式

于是，你又陷入了冥想之中

突然，刚刚的那个高人又在你的耳边提示：旋转过程中任意一点到原点的距离不变

此时的你又恍然大悟🤓

用极坐标！

首先，设平面直角坐标系下的一点$(x,y)在极坐标系下的坐标为(\rho,\varphi)$

(为了证明方便，我们取坐标原点为极点，x轴正方向为极轴，如下图)

根据极坐标变换公式有：

$x={\rho}cos{\varphi},y={\rho}sin{\varphi}$

设该点逆时针旋转角度$\theta$，则旋转后的极坐标为$(\rho,\theta+\varphi)$(从这里就能够突显使用极坐标的好处了)

设旋转后的点对应的直角坐标为$(x^{'},y^{'})$,将初始点的直角坐标代入，则有：

$x^{'}={\rho}cos(\theta+\varphi)={\rho}(cos{\theta}cos{\varphi}-sin{\theta}sin{\varphi})=xcos\theta-ysin\theta$

$y^{'}={\rho}sin(\theta+\varphi)={\rho}(sin{\theta}cos{\varphi}+cos{\theta}sin{\varphi})=xsin\theta+ycos\theta$

这样，我们就得到了逆时针旋转角度$\theta$下的坐标旋转公式：

$\begin{cases}{x^{'}=xcos\theta-ysin\theta}\\{y^{'}=xsin\theta+ycos\theta}\end{cases}$

真是Amazing啊！🤓牛刀小试之后的你决定再进一步：

$\Huge{Part2：特殊的双曲线之反比例函数}$

现在我们拿出反比例函数：$xy=k(k{\neq}0)$

不知道要旋转多少度？没事，不知道就设旋转角度为$\theta$，把刚才热乎的(bushi)坐标旋转公式代入，

$(xcos\theta-ysin\theta)(xsin\theta+ycos\theta)=k$

展开后得到：

$x^2sin2\theta+xycos2\theta-y^2sin2\theta=2k$

这个方程离双曲线的标准方程只差一步，即：

$cos2\theta=0,不妨取\theta=\frac{pi}{4},代入原式，化简后得到：$

$x^2-y^2=2k$

完结撒花🤓

所以，提起双曲线，我们第一反应可能大多是高中解几学过的那个双曲线，却不知晓它已经在初中课本上和你邂逅。

$\Huge{Part3：其它类型的双曲线}$

先来看看对勾函数$y=ax+\frac{b}{x},不妨设a,b{\lt}0$

即有$(y-ax)x=b$

代入得到的坐标旋转公式，有

$[(xsin\theta+ycos\theta)-a(xcos\theta-ysin\theta)](xcos\theta-ysin\theta)=b$

$令xy的系数等于0：sin\theta(sin\theta-acos\theta)=cos\theta(asin\theta+cos\theta)$

即$asin2θ+cos2θ=0$

从而$sin2θ=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}},cos2θ=-\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}$

代入原式(中间繁琐的化简过程我就省略了)，可得

$(\sqrt{a^2+1}-a)x^2-(\sqrt{a^2+1}+a)y^2=2b$

大功告成😋

综上，我们可以得出：

函数$y=ax+\frac{b}{x}(b{\neq}0)是双曲线，特别地，当a=0时为等边双曲线$

没想到吧，我们在正式在课堂上学双曲线之前已经接触了三种双曲线了🤓