物理

『O区臭水』(1)漫谈1+2+3+4…+n

$\Large{栖岸计划}$

这是一个自营的系列的第一期✨✨✨

内容应该会千奇百怪，先试试，反馈不错的话继续下一期

(没反馈的话代表你们已经被惊艳到说不出话了，也会更下一期)

(反馈差的话就说明你们喜欢这个系列，希望它更好，愈发要接着更(doge))

现在正片开始

前$n$个自然数求和$1+2+3+4…+n$,对于相当多的小学生都不是什么难事，这与科普工作者广泛宣传高斯的故事是分不开的。

首尾两项相加的方法是比较重要的。它体现了一种配对的思想，平均的思想。假设将$n$个苹果分给n/2个小朋友，那么拿最大苹果的小朋友一定要拿最小苹果，否则就有其不公平之处。国外将这种方法亲切地称为高斯技巧(Gauss's trick)

问题虽简单，但若角度不同，还是可以发掘一些有意思的东西

1.公式源头

有人在网上求助：请问等差数列的公式是谁发现的？

有网友跟贴：这还要问，当然是高斯。难道你不知道高斯的故事吗？

其实查了《几何原本》《周髀算经》《九章算术》，都没找到什么

其实这个问题比较简单，公式的发现可能比勾股定理还要早，但高斯是绝对可以排除的，人类的数学水平不至于发展如此缓慢

如果高斯的故事是真的，那么可以猜测出题的老师应该知道倒序相加，不会像某些书上描述的那样，发现了新大陆

2.分配律与割补法

采用数形结合来求解，常见如图

一个小方块代表$1$，作一个完全相同的图形“扣”在原图形上，就有

$2S=(1+n)+(2+n-1)+…+(n+1)=n(1+n)$,即$S=\frac{n(1+n)}{2}$

有人嫌画两个图麻烦，希望能简化。那就在第一张图上加一条直线，此时$S=1+2+…+n=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}=\frac{1}{2}n(n+1)$,既然只用割就能解决问题，就不用补一块了

仔细比较两种做法，发现其实只是系数做了一些分配，组合的小动作。$S=\frac{n(1+n)}{2}$既可以重组为$\frac{1}{2}n(n+1)$,也可以变成$\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}$。原来数学里面也有文字游戏……

不要轻视这东西，它用处还比较大，推荐《仁者无敌面积法》by彭翕成，张景中

3.升次与相加化简

关于$\sum_{i=1}^{n}{i^k}$,这是等幂求和问题，论坛上已经有帖子详细论述了，这里简单提两嘴

除非你是伯努利，做法就一般是升次，然后通过相加消去中间项：

$\sum_{i=1}^{n}{2i+1}=\sum_{i=1}^{n}{[(i+1)^2-i^2]}=(n+1)^2-1=n^2+2n$

于是$\sum_{i=1}^{n}{2i}=n^2+n,\sum_{i=1}^{n}{i}=\frac{n(1+n)}{2}$

4.三角与组合

网上流传这样一种无字证明方法，你能看明白吗？

意思是：

假设三角形共有$n+1$行，最后一行有$n+1$个圈，考虑将$n+1$个圈两两组合配对，先任取$1$个，有$n+1$种取法，与之配对则有$n$种方式，考虑到对称性要减半，于是可得共有$S=\frac{n(1+n)}{2}$种配对方式

从另一个角度来看，上面$n$行中任意一个圈(共有$1+2+3+4…+n$个圈)，斜斜地画两条线，则对应一种组合方式

于是$1+2+3+4…+n=\frac{n(1+n)}{2}$,这是典型的算两次

这确实是一个非常不错的无字证明案例，缺点是做图有些麻烦

我们也可以仿照这作一个简单一点的图形

如图，将一条长度为$n$的线段$n$等分，显然长度为一的线段有1条，长为$n$的有2条……长为1的有$n$条，于是共有1+2+3+4…+n条线段，而两端点决定一条线段，于是又回归配对问题

5.求导与洛必达法则

将恒等式$1+x+x^2+…+x^n=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$两边求导，得

$1+2x+3x^2+…+nx^{n-1}=\frac{(n+1)x^n (x-1)-x^{n+1}+1}{(x-1)^2}$

当$x\to1$时，等式右边属于$\frac{0}{0}$的形式

两次运用洛必达法则，有

$\lim_{x o1}\frac{(n+1)x^n (x-1)-x^{n+1}+1}{(x-1)^2}=\lim_{x o1}\frac{(n+1)[(n+1)x^n-nx^{n-1}]-(n+1)x^n}{2(x-1)}=\lim_{x o1}\frac{(n+1)[(n+1)x^{n-1}-n(n-1)x^{n-2}]-(n+1)nx^{n-1}}{2}$

因此,$\sum_{i=1}^{n}{i}=\frac{n(1+n)}{2}$

就是这样一个小儿科问题，却能和许多的数学知识联系起来

前面我们还提到了等幂求和，譬如$\sum_{k=1}^nk^3=(\sum_{k=1}^nk)^2$也有很多种证法，若撇开证法不谈，

思考：$\sum_{k=1}^nk^a=(\sum_{k=1}^nk^b)^c$,其中自然数$a,b,c$要满足什么条件？

既然是对于任意$n$都成立，那当$n$非常大的时候式子也成立。

首先我们有一个结论：

$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^nk^p}{n^{p+1}}=\frac{1}{p+1}$(注①)

依次结论可得$a+1=(b+1)c,a+1=(b+1)^c$,若$c=1$,则$a=b$,为恒等式，若c>1,则$c=(b+1)^{c-1}\ge 2^{c-1}\ge c$,于是$c=2,b=1,a=3$

注①：可用施托尔兹定理来证，也可像这样思考：