注意事项：

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目录：

1. 定积分
2. 卡丹公式

1.定积分

我们先来看一下什么是定积分，一个标准的定积分$\int_{a}^{b} $f(x)dx，一共包含几个核心：1.$\int $积分号 求和的意思2.a和b:积分的上限与下限 表现累计求和的起点与终点 它们共同定义了求和范围或区间[a,b]3.被积表达式f(x)dx:结合在一起 f(x)dx就成了一个整体，代表无穷小的量4.被积函数f(x):描述“变化率”或“密度”的函数它说明每个点上“累加的东西”的强度或速率5.微分(dx):整个概念的精髓 代表一个无穷小的宽度、长度或时间片段

那么它的核心作用是啥？它的作用在于将无穷小的量累计成一个有限的 有意义的整体

举个例子 ：假设我们正在开车那么瞬间指的是任意一个时间点t 你的速度v(t)只是一个瞬间状态 整体指的是从时刻a到时刻b你总共走了多长的路程 这个总路程就是整体的结果 而定积分要做的 就是把每一个 瞬间速度v(t)与无穷小的时间片段dt相乘 从而得到无穷小的路程 然后将从a到b所有无穷小的路程全部累加起来 最终得到总路程 而这种在局部 取微小量dt再通过积分将所有微小量加起来的思想 我们称它为微元法 它使用定积分解决实际问题的核心技巧 也是将定积分应用于各种实际问题的万能钥匙

在搞懂它的概念以后 我们用一道简单题来展示定积分的基础用法 

例题：

一辆小车在一条直线上行驶，其速度随时间变化的函数是v(x)=2t(单位：m/s)。请计算从第1秒到第3秒，这辆小车形势的路程 

[答案]总路程s的表达式：s=$\int_{1}^{3} $2tdt

定积分的计算公式$\int_{a}^{b} $f(x)dx=F(b)-F(a)(注意符号大小写）

F(x)是被积函数f(x)的一个原函数

F(x)导等于f(x)，那么F(x)就是f(x)的原函数，即F'(x)=f(x)

因为(t$^{2} $)'=2t 

所以F(t)=t$^{2} $就是2t的一个原函数

将上限b=3和下限a=1分别代入原函数F(t)=t$^{2} $，然后相减

S= F(3) - F(1)= (3)$^{2} $ - (1)$^{2} $ = 9 - 1= 8m

所以，小车从第1秒到第3秒行驶的总路程是8米

2.卡丹公式

当我么需要精确解析三次方程时 卡丹公式可以帮助我们解决多数问题

一元三次方程的一般形式为：ax$^{3} $+bx$^{2} $+cx+d=0

和一元二次方程一样 我们能消哪就消哪

1. 参数代换 消二次项

• 两边同${\div} $a 目的是将三次想系数化为
• 得x$^{3} $+$\frac{b}{a} $x$^{2} $+$\frac{c}{a} $x+$\frac{d}{a} $=0
• 但是这样计算太麻烦了 那我们可以进行参数代换处理
• 得到x$^{3} $+px$^{2} $+qx+r+0 其中 p=$\frac{b}{a} $ q=$\frac{c}{a} $ r=$\frac{d}{a} $
• 再此进行参数代换 让x=y-$\frac{p}{3} $从而去二次项
• 得到y$^{3} $+ky+m=0(其中 k=q-$\frac{p}{3} $ $^{2} $(这个二次方是在p头上的 不是整体)，m=r-$\frac{pq}{3} $+$\frac{2p}{27} $ $^{3} $(这个3也是）

    2.积零法则 韦达定理

• 这里出现了一个很大胆的操作 是一位名叫卡尔达诺想出来的
• 假设解可以表示为两个数的和即设y=u+v'
• 代入方程得（u+v)$^{3} $+k(u+v)+m=0
• 展开得u$^{3} $+v$^{3} $+3uv(u+v)+k(u+v)+m=0
• 整理得（u$^{3} $+v$^{3} $+m)+(u+v)(3uv+k)=0
• 零积法则：如果两个式子的乘积为0，那么至少一个式子为0（只是名字高大上）
• 假设u$^{3} $+v$^{3} $+m=0与3uv+k=0恒成立
  
• 由3uv+k=0可得uv=-$\frac{k}{3} $ 立方后 u$^{3} $v$^{3} $=-$\frac{k}{3} $ $^{3} $（这个也是在分子上的）
• 暂时没时间写了 先这样
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