物理 一点点拓扑
帖主只是会一点点皮毛，也可能会有一些错误，欢迎大家的指正，如果我哪里有没有说到或说清或是说错了的，在评论区问/说就好了，而且帖主不会LATEX，那些LATEX都是加上美元符号就完事了...可能有些式子由于我错误的LATEX会显得很诡异，欢迎指正
可能有一些符号的意思我没有说，欢迎询问，而且我也不太会写学术帖，我自己都觉得我写了一串知识点好入机，我已经尽力在让我的语言有意思一点了...如有建议，欢迎提出
这个反斜杠 \\ 打一个空格会多一个，所以可能有些式子会有两个\\，懒得改了
这个号原来的@Cove 也更过点集拓扑和代数拓扑，还有泛函分析，但是后来删掉了
第1章：集合、关系与函数 (Set, Relation & Function)
(╯°□°）╯︵ ┻━┻ 拓扑万字长征开始
引言：拓扑学是什么？
想象你有块万能橡皮泥：捏成球、捏成碗、捏成带把手的咖啡杯 在拓扑学家眼里，这三个本质相同！ 因为你能不撕破不粘连（只拉伸挤压），就把球变碗、碗变杯（把手是洞） 拓扑学（Topology）研究的就是空间在 连续变形下不变的性质，俗称"橡皮泥几何" 它不关心长度角度，只盯住 连通性（空间是整块还是碎渣）、紧致性（扭曲空间是否"有限"）、洞的数量（亏格）这些揉不掉的本质特性
庞加莱说： "拓扑学是描述物体在形变中不变性质的学科"
集合 (Sets) 及其操作
核心概念
集合 (Set)：一堆 确定 且 互异 的对象全家福 对象叫 元素 (Element)
例：A = {1, 2, 3, 猫, (╥﹏╥)}（元素可跨次元）
属于 (∈)：a ∈ A 表示元素入伙 例：2 ∈ {1,2,3}，狗 ∉ {1,2,3}
子集 (Subset ⊆)：A ⊆ B 表示A全员在B打工 例：{1,2} ⊆ {1,2,3}
真子集 (⊂)：A ⊂ B 要求 A ≠ B，如 {1,2} ⊂ {1,2,3}
集合运算
操作 符号 定义
并集 A ∪ B {x⎮x∈A 或 x∈B}
交集 A ∩ B {x⎮x∈A 且 x∈B}
差集 A \B {x⎮x∈A 且 x∉B}
笛卡尔积 A × B {(a,b)⎮a∈A,b∈B}
重要定理：德·摩根定律
定理：对任意集合 A,B ⊆ U：
(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c
(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c
证明（使用元素追踪法）：
证 x ∈ (A ∪ B)^c ⇒ x ∈ A^c ∩ B^c：
若 x ∈ (A ∪ B)^c，则 x ∉ A ∪ B（补集定义）
⇒ x ∉ A 且 x ∉ B（并集定义）
⇒ x ∈ A^c 且 x ∈ B^c
⇒ x ∈ A^c ∩ B^c（交集定义）
同理可证逆包含
关系 (Relations) 与等价 (Equivalence)
关系基础
关系：笛卡尔积 A × B 的子集 R，描述元素间联系
例：A={学生}, B={课程}, R={(小明,拓扑学)} 表示小明选修拓扑 ((๑•̀ㅂ•́)و✧)
等价关系
定义：集合 X 上的关系 ∼ 若满足：
自反性：∀x ∈ X, x ∼ x （自己和自己玩）
对称性：若 x ∼ y 则 y ∼ x （友谊双向）
传递性：若 x ∼ y 且 y ∼ z 则 x ∼ z （朋友的朋友是朋友）
例：
整数集 Z 的模3同余：x ∼ y ⇔ 3⎮(x-y)
等价类：[0]={...,-3,0,3,...}, [1]={...,-2,1,4,...}, [2]={...,-1,2,5,...}
定理：等价关系 ⟺ 集合划分
证明：
(⇒) 每个等价类 [x] 是划分块（由自反/对称/传递性保证不重不漏）
(⇐) 若 X = ∪_{i} A_i（不相交划分），定义 x∼y ⇔ x,y 同属某块 → 满足等价三性
拓扑意义：商空间通过等价类"粘合"点（如将矩形对边粘合为圆柱）
函数 (Functions)：
函数三要素
类型 定义 拓扑意义
单射 (Injective) ∀x₁≠x₂, f(x₁)≠f(x₂) 嵌入子空间（如线段→平面）
满射 (Surjective) ∀y∈Y, ∃x∈X 使 f(x)=y 覆盖整个空间（如投影映射）
双射 (Bijective) 单射+满射 同胚候选（需连续+逆连续）
关键定理：复合函数性质
定理：若 f: X→Y, g: Y→Z 是双射，则 g∘f: X→Z 也是双射
证明：
单射性：设 x₁≠x₂，因 f 单射 ⇒ f(x₁)≠f(x₂)，因 g 单射 ⇒ g(f(x₁))≠g(f(x₂))
满射性：∀z∈Z，因 g 满射 ⇒ ∃y∈Y 使 g(y)=z，因 f 满射 ⇒ ∃x∈X 使 f(x)=y ⇒ g(f(x))=z
第一章总结
集合是砖块（∪∩⊆），关系是胶水（∼），函数是设计图（f: X→Y） ，不重要
第 2 章：拓扑空间 (Topological Spaces)
开集：(Open Sets)
定义：开集三公理
扔掉距离后如何描述"靠近"？ 靠 开集 (Open Sets) 拓扑空间的核心是 开集族，满足三条公理：
给定集合 X，其子集族 τ ⊆ P(X) 称为 拓扑 (Topology) 若满足：
∅ 和 X 属于 τ
任意并封闭：若 {U_i | i ∈ I} ⊆ τ（I 任意指标集），则 ⋃_{i∈I} U_i ∈ τ
有限交封闭：若 U_1, U_2, ..., U_n ∈ τ，则 ⋂_{k=1}^n U_k ∈ τ
此时 (X, τ) 称为 拓扑空间，τ 中集合称为 开集
例
欧氏拓扑 (Euclidean Topology)：
在 R^n 中，开集是所有开球 B_r(x) = {y ∈ R^n | d(x,y) < r} 的任意并（d 为欧氏距离）
开集公理天然满足
离散拓扑 (Discrete Topology)：
τ = P(X)（所有子集都是开集）
验证公理：
∅ 和 X 是子集 → 属于 τ
子集的任意并/有限交还是子集 → 封闭
密着拓扑 (Trivial/Indiscrete Topology)：
τ = {∅, X}（只有全集和空集开）
公理显然满足（并交操作只有 ∅ 或 X）
余有限拓扑 (Cofinite Topology)：
τ = {U ⊆ X | X \\ U 有限} ∪ {∅}（开集是余集有限或空集）
∅ ∈ τ（显式包含），X ∈ τ（因 X \\ X = ∅ 有限）
任意并：设 U_i ∈ τ，若所有 U_i = ∅ 则并是 ∅ ∈ τ；否则 X \\ (∪ U_i) = ∩ (X \\ U_i)（有限个有限集的交 → 有限） → ∪ U_i ∈ τ
有限交：设 U_1, U_2 ∈ τ，若任一为 ∅ 则交为 ∅ ∈ τ；否则 X \\ (U_1 ∩ U_2) = (X \\ U_1) ∪ (X \\ U_2)（两个有限集的并 → 有限） → U_1 ∩ U_2 ∈ τ
反直觉：若 X 无限，则单点集 {x} 不是开集！因余集 X \\ {x} 无限
希尔伯特： "从R^n的直观到离散/密着的极端，抽象定义才有了血肉！"
闭集、邻域与闭包 (Closed Sets, Neighborhoods & Closure)
闭集：
定义：A ⊆ X 是 闭集 (Closed Set) 若其补集 X \\ A 是开集（即 X \\ A ∈ τ）
性质定理：闭集对 任意交 和 有限并 封闭
证明（使用开集公理对偶）：
任意交封闭：设 {F_i | i ∈ I} 是闭集族，则 ∀i, X\ F_i开
→ X \\ (⋂_{i} F_i) = ⋃_{i} (X \\ F_i)（由德摩根律）
→ 右边是开集的任意并 → 开集
→ 故 ⋂_{i} F_i 闭
有限并封闭：设 F_1, F_2, ..., F_n 闭，则 ∀i, X \F_i 开
→ X\ (⋃_{k=1}^n F_k) = ⋂_{k=1}^n (X \F_k)
→ 右边是开集的有限交 → 开集
→ 故 ⋃_{k=1}^n F_k 闭
注意：一个集可既不开也不闭！如 R 中 [0,1) 非开非闭
初学总想"开=无界，闭=有界"，但离散空间中 {x} 有界却开，密着空间中 [0,1] ⊆ R 有界但非闭（若嵌入密着拓扑）—— 拓扑的闭集与度量空间的闭集不同 ((☉_☉))
邻域：
定义：点 x ∈ X 的 邻域 (Neighborhood) 是集合 N ⊆ X，使得存在开集 U 满足 x ∈ U ⊆ N
简单说：N 包含一个含 x 的开集
开邻域：若 N 自身是开集，则称为开邻域（常用）
在 R 上，x=0 的邻域包括 (-1,1), [-0 5, 0 5], (-2,2) ∪ {3}（因存在开集 (-0 5,0 5) ⊆ [-0 5,0 5]）
邻域定义不依赖距离，只靠开集
关键性质：
U 是开集 ⇔ U 是其每点的邻域（自证不难）
闭包：
定义：子集 A ⊆ X 的 闭包 (Closure) $\overline{A}$ 是包含 A 的最小闭集 等价定义：
$\overline{A}$ = $\{x ∈ X | \forall \text{邻域 }$ N $\text{ of } x$, N ∩ A ≠ ∅}
最小闭集证明
证 $\overline{A}$ 是闭集（即证 X \$\overline{A}$ 开）
取 x ∈ X \$\overline{A}$，则存在 x 的邻域 N_x 满足 N_x ∩ A = ∅
由邻域定义，存在开集 U_x 使 x ∈ U_x ⊆ N_x，故 U_x ∩ A = ∅
现证 U_x ⊆ X \$\overline{A}$：若 y ∈ U_x，则 U_x 是 y 的邻域且 U_x ∩ A = ∅ → y ∉ $\overline{A}$
故 X \$\overline{A}$ = ∪_{x ∈ X \$\overline{A}$} U_x（开集的并），是开集 → $\overline{A}$ 闭
证最小性 若 F 闭且 A ⊆ F，则 ∀x ∉ F，有开集 U = X \F 含 x 且 U ∩ A = ∅ → x ∉ $\overline{A}$ → $\overline{A}$ ⊆ F
多角度理解闭包：
几何角度：A 加边界点（如 R 上 A=(0,1) 则 $\overline{A}$=[0,1]）
极限角度（度量空间）：x ∈ $\overline{A}$ ⇔ 存在 A 中点列收敛到 x（一般拓扑可能不成立）
"闭包是集合的引力范围，吸引所有邻近点" — 匿名拓扑学家
第二章总结
开集是拓扑空间的砖瓦（公理化定义），闭集是它的影子（补集关系），邻域和闭包描绘点的局部与边界
第 3 章：连续映射与同胚(Continuous Maps & Homeomorphisms)
魏尔斯特拉斯： "拓扑的连续是分析中ε-δ定义的华丽升级版"—— 扔掉刻度尺，保留本质
连续映射 (Continuous Maps)
定义：开集原像决定连续性
核心定义：函数 f: X → Y 在拓扑空间之间 连续 (Continuous)，当且仅当：
∀ V ⊆ Y 开集，其原像 f^{-1}(V) = {x ∈ X | f(x) ∈ V} 是 X 的开集
多角度理解：
角度 解释 拓扑意义
开集视角 Y 的开放区域V，在X 的"源头"f^{-1}(V) 也开放 信息无阻碍流动
闭集等价 f 连续 ⇔ Y 的闭集原像是 X 的闭集（证明用补集性质 ) 封闭区域源头也封闭
邻域视角 f 在 x 连续 ⇔ f(x) 的每个邻域的原像包含 x 的某个邻域 局部变形不撕裂
例：
常数函数：f: X → Y, f(x)=c（常数）必连续
证明：∀ V ⊆ Y，若 c ∈ V 则 f^{-1}(V)=X（开），若 c ∉ V 则 f^{-1}(V)=∅（开）
离散空间出发：若 X 是离散拓扑，则任意 f: X → Y 连续
原因：X 的所有子集开，原像总是开
密着空间到达：若 Y 是密着拓扑，则任意 f: X → Y 连续
原因：Y 只有 ∅ 和 Y 开，f^{-1}(∅)=∅ 开，f^{-1}(Y)=X 开
初学总想套ε-δ定义 ((＠_＠;)) "忘掉距离！盯着开集原像！" —— 画图练习：
在 R 上标出 f(x)=x² 的原像 f^{-1}((1,4)) = (-2,-1) ∪ (1,2)（开集），而 (1,4) 开 ⇒ 连续
反例：g: R → R, g(x)=0（x≤0），g(x)=1（x>0）
取 V=(0 5,1 5) 开，但 g^{-1}(V)=(0,∞) 非开 ⇒ 不连续
连续映射的运算与性质 (Operations & Properties)
定理：连续映射的复合仍是连续
定理 ：若 f: X → Y, g: Y → Z 连续，则 g ∘ f: X → Z 连续
证明：
设 W ⊆ Z 开，则 (g ∘ f)^{-1}(W) = f^{-1}(g^{-1}(W))
因 g 连续，g^{-1}(W) 是 Y 的开集
因 f 连续，f^{-1}(g^{-1}(W)) 是 X 的开集
故 (g ∘ f)^{-1}(W) 开
连续函数像柔性管道，复合就是管道衔接 —— 若每段柔韧，整体就不泄漏
限制与扩张
子空间限制：若 f: X → Y 连续，A ⊆ X 有子空间拓扑，则 f|_A: A → Y 连续
证明：对 Y 的开集 V，(f|_A)^{-1}(V) = f^{-1}(V) ∩ A，是 A 的开集
粘连引理：若 X = F_1 ∪ F_2（F_1,F_2 闭），且 f|_F_1, f|_F_2 连续，则 f 连续
像拼布娃娃，若每块布料柔韧且缝合处匹配，整体就柔韧 ((๑•̀ㅂ•́)و✧)
同胚：
定义：连续的双射
同胚 (Homeomorphism) 是双射 f: X → Y 满足：
f 连续
f^{-1}: Y → X 也连续
此时称 X 与 Y 同胚 (Homeomorphic)，记作 X ≅ Y
同胚像 橡皮泥变形：球 → 碗 → 带柄杯（不撕破不粘连）
非同胚反例：球 vs 甜甜圈（洞数不同）
关键性质
定理：同胚是等价关系（自反、对称、传递）
证明：
自反性：id_X: X → X 是同胚（恒等映射连续且自逆）
对称性：若 f: X → Y 同胚，则 f^{-1}: Y → X 同胚（由定义）
传递性：若 f: X → Y, g: Y → Z 同胚，则 g ∘ f: X → Z 同胚
因 f,g 连续 ⇒ g∘f 连续（定理 3 2 1）
因 f,g 双射 ⇒ g∘f 双射
逆映射 (g∘f)^{-1} = f^{-1} ∘ g^{-1} 连续（同理）
拓扑不变量：同胚空间必共享：
连通性（整块 or 碎片）
紧致性（能否被有限覆盖）
洞的数量（亏格）
分离公理（如 T_1, T_2）
瑟斯顿： "拓扑学家是分不清咖啡杯和甜甜圈的人" —— 因为它们同胚
同胚的经典案例与判别法 (Examples & How to Judge)
案例集锦
空间对 同胚与否 关键理由
R vs (0,1) 同胚 (≅) f(x) = $\frac{1}{1+e^{-x}}$ 是连续双射（反双曲）
[0,1] vs (0,1) 不同胚 [0,1] 紧致，(0,1) 非紧致
球面 vs 立方体表面 同胚 (≅) 连续形变（如充气立方体成球）
圆环 vs 咖啡杯 同胚 (≅) 均为单洞曲面（亏格=1）
判别技巧
构造同胚映射：找到显式的连续双射（如 R ≅ (0,1) 用 $\tanh x$）
利用不变量：若拓扑性质不同 ⇒ 不同胚
例：S（圆）连通但 S ∪ S（两分离圆）不连通 ⇒ 不同胚
局部性质：比较点的邻域结构（如T_1空间中单点集是否闭）
第三章总结
连续映射是空间的"柔性连接"（开集原像保开放），同胚是"拓扑等价"的终极认证（双射+双连续）
第 4 章：连通性 (Connectedness)
希尔伯特洞察： "拓扑的连通性如同生命体的脉搏——跳动则生，停滞则亡"
连通空间： (Connected Spaces)
核心定义：开集分割判定
定义：拓扑空间 (X, τ) 连通 (Connected)，若不存在两个 非空不相交开集 U, V 使得 U ∪ V = X
等价表述：
X 不能写成两个非空 不相交闭集 的并
X 的唯一既开又闭子集是 ∅ 和 X
经典案例与反例
空间 连通性 关键分析
R 的标准区间 (a,b) 连通 无法用开集分割（尝试必漏点）
离散空间 (` X >1`) 不连通 单点集 {x} 既开又闭 ⇒ 可分割
Q ⊆ R 不连通 取 U = (-∞, √2) ∩ Q, V = (√2, ∞) ∩ Q 满足分割条件
拓扑学正弦曲线 连通但非道路连通 见下文
定理 ：实数轴 R 的连通子集恰是区间（即 [a,b], (a,b), [a,b) 等）
证明：
连通 ⇒ 区间：若非区间，则存在 x<y<z 使 x,z ∈ A 但 y ∉ A
取 U = (-∞, y) ∩ A, V = (y, ∞) ∩ A
U,V 非空（含 x,z）、开（相对拓扑）、不相交且 U∪V=A ⇒ A 不连通
区间 ⇒ 连通：设 A 为区间，假设存在非空开集 U,V ⊆ A 使 U∩V=∅, U∪V=A
取 u ∈ U, v ∈ V，不妨设 u < v
因 A 是区间，[u,v] ⊆ A
令 s = $\sup${x ∈ [u,v] | [u,x] ⊆ U}
证 s ∈ U ⇒ ∃ε>0, (s-ε,s+ε)∩A ⊆ U，与 s 为上确界矛盾
证 s ∈ V ⇒ ∃δ>0, (s-δ,s+δ)∩A ⊆ V，但 (s-δ,s] 含 U 中点 ⇒ 矛盾
连通分支： (Connected Components)
定义：极大连通子集
对任意拓扑空间 X，其 连通分支 (Connected Component) 是极大连通子集 C ⊆ X，即：
C 连通
若 D 连通且 C ⊆ D，则 C = D
性质定理：
覆盖性：X = ∪_{α} C_α（每个点属于某分支）
互斥性：不同分支不相交
闭集性：每个分支是闭集（因闭包连通且包含 C，由极大性 ⇒ $\overline{C}$ = C）
证明闭集性：
设 C 是分支，对任意 x ∈ $\overline{C}$，证 x ∈ C：
因 x ∈ $\overline{C}$，则 ∀ 邻域 N of x, N ∩ C ≠ ∅
令 D = C ∪ {x}，证 D 连通：
若 D 不连通，存在开集 U,V ⊆ D 分割 D
不妨设 x ∈ U，则 U ∩ C 和 V ∩ C 分割 C ⇒ 矛盾（因 C 连通）
故 D 连通，由 C 极大性 ⇒ x ∈ C，即 $\overline{C}$ = C
"连通分支是空间的拓扑原子——不可分割的完整单元" — 匿名
局部连通性：(Local Connectedness)
定义：每点有连通邻域基
局部连通 (Locally Connected)：∀x ∈ X 及邻域 U of x，存在连通邻域 V 使 x ∈ V ⊆ U
关键区别：
性质 全局连通 局部连通
要求 整个空间完整 每点附近有完整小块
关系 互不蕴含！
反例 1：拓扑学正弦曲线
定义：X = $\{(0,y) | -1≤y≤1\}$ ∪ $\{(x, $\sin(1/x))$ | 0<x≤1\}$
全局连通：因是闭包的连通子集 ($\sin(1/x)$ 部分稠密)
局部不连通：在点 (0,0)，任意小邻域被 y 轴切割成不连通碎片
反例 2：梳空间 (Comb Space)
定义：[0,1]×{0} ∪ {1/n}×[0,1] ∪ {0}×[0,1]
局部连通：除 (0,1) 外每点有连通邻域
全局不连通？ 错误！ 它是连通的，但非局部连通于 (0,1)（因水平线被切断）
道路连通性：(Path Connectedness)
定义：任意两点有道路相连
道路 (Path)：连续映射 γ: [0,1] → X（[0,1] 有标准拓扑）
道路连通 (Path Connected)：∀x,y ∈ X，存在道路 γ 使 γ(0)=x, γ(1)=y
定理：道路连通 ⇒ 连通
证明：
假设 X 道路连通但不连通，存在开集 U,V 分割 X
取 x ∈ U, y ∈ V，存在道路 γ: [0,1] → X 连接 x,y
则 γ^{-1}(U) 和 γ^{-1}(V) 分割 [0,1] ⇒ 与 [0,1] 连通矛盾
反例：拓扑学正弦曲线（连通但不道路连通）
不道路连通证明：
假设存在道路 γ: [0,1] → X 连接 (0,0) 和 $(1, \sin1)$
因 γ 连续，$γ^{-1}(\{0\}×[-1,1])$ 是 [0,1] 的闭集，且含 0
令 t_0 = $\sup\{t | γ(t)$ ∈ $y\text{-轴}\}$，证 γ(t_0) 不在 $\sin(1/x)$ 曲线上 ⇒ 矛盾
欧拉： "柯尼斯堡七桥问题本质是道路连通性" — 拓扑学源头之一
连通性的保持与应用 (Preservation & Applications)
定理：连续映射保连通性
定理：若 f: X → Y 连续满射且 X 连通，则 Y 连通
证明：
假设 Y 不连通，存在开集 U,V 分割 Y
则 f^{-1}(U) 和 f^{-1}(V) 是 X 的非空不相交开集（因 f 连续且满射）
且 f^{-1}(U) ∪ f^{-1}(V) = X ⇒ 与 X 连通矛盾
应用 1：介值定理的拓扑升级版
若 f: X → R 连续，X 连通，则 f(X) 是区间（因 f(X) 连通 ⇒ 是区间）
应用 2：Borsuk-Ulam 定理特例
球面 S 到 R 的连续映射 f，必存在一对对跖点 x,-x 满足 f(x)=f(-x)
连通性作用：构造辅助函数 g(x)=f(x)-f(-x)，证其零点存在
第四章总结
连通性=空间拒绝分裂（开集分割判定），道路连通=点间可通达（连续路径存在）
第 5 章：紧致性 (Compactness)
紧致空间 (Compact Spaces)
核心定义：开覆盖 → 有限子覆盖
定义：拓扑空间 (X, τ) 紧致 (Compact) 当且仅当：
对任意开覆盖 {U_i | i ∈ I}（即 ∪_{i∈I} U_i = X），存在有限子集 J ⊆ I 使得 ∪_{j∈J} U_j = X
经典案例四重奏
空间 紧致性 关键证明思路
闭区间 [a,b] ⊆ R ✓紧致 海涅-博雷尔定理
开区间 (a,b) ⊆ R ✗非紧致 构造覆盖 `{(a+1/n, b) n∈N}` 无有限子覆盖
有限离散空间 ✓紧致 开覆盖中每点选一个开集即够
无限离散空间 ✗非紧致 单点开集覆盖 `{{x} x∈X}` 需无限个
反直觉案例：拓扑学正弦曲线（第四章连通但非道路连通）
有界闭集但非紧致（若取特殊拓扑）
证明关键：构造无有限子覆盖的开覆盖（利用 y 轴附近无限震荡）
紧致性独立于有界闭性，是纯拓扑概念
紧致性的基本性质 (Basic Properties of Compactness)
定理：闭子集继承紧致性
若 X 紧致，F ⊆ X 闭，则 F 紧致
证明
设 {U_i | i ∈ I} 是 F 的开覆盖（相对拓扑）
则 ∀i, ∃ 开集 V_i ⊆ X 使 U_i = V_i ∩ F
考虑 X 的开覆盖 {V_i | i ∈ I} ∪ {X \\ F}
由 X 紧致，存在有限子覆盖 V_{i_1}, ..., V_{i_n}, X \\ F（可略）
故 U_{i_1}, ..., U_{i_n} 覆盖 F
定理：连续映射保持紧致性
若 f: X → Y 连续，X 紧致，则 f(X) 紧致
证明：
设 {V_j | j ∈ J} 覆盖 f(X)
则 {f^{-1}(V_j) | j ∈ J} 是 X 的开覆盖（因 f 连续）
取有限子覆盖 f^{-1}(V_{j_1}), ..., f^{-1}(V_{j_m})
故 V_{j_1}, ..., V_{j_m} 覆盖 f(X)
推论：紧致空间上连续实值函数有界且取极值
原因：f(X) ⊆ R 紧致 ⇒ 有界闭集
一个物理类比：紧致性如能量守恒，连续映射如动力传输——输入有限能量，输出不爆炸
欧氏空间的紧致性：海涅-博雷尔定理 (Heine-Borel Theorem)
定理：R^n 的子集紧致当且仅当有界闭
证明：
必要性 (⇒)：
有界性：R^n 可被开球 B_k(0) 覆盖，取有限子覆盖 ⇒ 有界
闭性：豪斯多夫空间中紧致子集闭
充分性 (⇐)：
1：证闭区间 [a,b] ⊆ R 紧致（见引理）
2：R^n 中有界闭集 A 可嵌入闭立方体 [-M,M]^n
3：由吉洪诺夫定理（有限积紧致），[-M,M]^n 紧致
4：A 是紧致集的闭子集 ⇒ 紧致
引理：[a,b] ⊆ R 紧致（海涅-博雷尔核心）
证明：
设 {U_i | i ∈ I} 覆盖 [a,b]
令 S = $\{x ∈ [a,b] | [a,x] 被有限个 U_i 覆盖\}$
证 a ∈ S（非空），b 是上界 ⇒ 存在 c = $\sup S$
证 c ∈ S：取 U_{i_0} ∋ c，则 ∃ε>0, (c-ε,c+ε) ⊆ U_{i_0}，取 y ∈ (c-ε,c) ∩ S，则 [a,y] 有有限覆盖，加 U_{i_0} 盖住 [a,c]
证 c=b：若 c<b，则 ∃z ∈ (c,\min(c+ε,b))，[a,z] 有有限覆盖 ⇒ 矛盾
故 b ∈ S
确界证法精髓在 左逼右拓 ((๑•̀ㅂ•́)و✧)
豪斯多夫空间的紧致舞蹈 (Compact Sets in Hausdorff Spaces)
定义回顾：豪斯多夫空间 (T_2)
∀x≠y，存在不相交邻域 U_x, U_y（如度量空间、流形）
紧致子集的性质
定理：豪斯多夫空间的紧致子集是闭集
证明：
设 K ⊆ X 紧致，证 X \\ K 开
∀y ∈ X \\ K，∀x ∈ K，取不相交邻域 U_x^x（x的）和 U_y^x（y的）
{U_x^x | x ∈ K} 覆盖 K ⇒ 存在有限子覆盖 U_{x_1}, ..., U_{x_n}
令 V = ∩_{k=1}^n U_y^{x_k}（y 的开邻域），U = ∪_{k=1}^n U_{x_k}（覆盖 K）
则 V ∩ U = ∅ ⇒ V ⊆ X \\ K □
定理：豪斯多夫空间中，不相交紧致集可用开集分离
证明：对两点集推广
格罗滕迪克评注： "豪斯多夫空间中的紧致子集，是拓扑的谦逊贵族"
紧致性的进阶性质 (Advanced Properties)
定理：可数紧致 ⇔ 序列紧致（在度量空间）
可数紧致：任意可数开覆盖有有限子覆盖
序列紧致：任意序列有收敛子列
度量空间中：紧致 ⇒ 可数紧致 ⇔ 序列紧致 ⇔ 完备且完全有界
证明概要：
紧致 ⇒ 序列紧致：假设序列 {x_n} 无收敛子列 ⇒ ∀x ∈ X, ∃ 邻域 U_x 只含有限个 x_n ⇒ {U_x} 覆盖 X ⇒ 有限子覆盖 ⇒ 序列只有有限项 ⇒ 矛盾
定理：局部紧致性
定义：∀x ∈ X, ∃ 紧致邻域 K（即 x ∈ K^◦ ⊆ K 紧致）
性质：
紧致空间必局部紧致
R^n 局部紧致（每点有闭球邻域）
无限维希尔伯特空间非局部紧致
经验：
构造反例：在 无穷维单位球 {x ∈ l | \|x\|=1} 中，任何邻域非紧致——因存在标准正交基序列无收敛子列 ((☉_☉))
紧致化的应用：
应用 1：连续函数极值定理（拓扑升级版）
定理：紧致空间 X 上连续 f: X → R 必取最大值和最小值
证明：略，显然
应用 2：佩亚诺存在定理（微分方程）
拓扑本质：解算子在函数空间紧致性保证解存在
应用 3：宇宙学中的紧致性（觉得两个有点少搜的，不懂）
紧致宇宙假说：宇宙可能紧致（有限体积无边界）
证据：宇宙微波背景辐射（CMB）的低温涨落模式
庞加莱猜想证明：单连通紧致三维流形同胚于三维球面（觉得三个有点少搜的，不懂）
思想实验：
如果宇宙非紧致，CMB应有大规模结构——但观测显示均匀，支持紧致模型
第五章总结
紧致性=无限空间的有限控制（开覆盖→有限子覆盖），是分析学的基石和宇宙学的钥匙
