物理

【栖岸计划】物理竞赛常用二级结论＆公式汇总

呃不划线的可以帮忙吗 我可以写一些近代物理

近代物理我还是可以的，狭相，黑体，量子应该没什么问题

运动学－抛体运动Pt.3

（好像有点太简单了）

（1）射程对称性

若两个抛射角 $ \theta_1 $ 和 $ \theta_2 $ 满足 $ \theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{2} $，则它们的射程相等。

推广：对于斜面，若 $ \theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{2} + \varphi $，则射程相等。

（2）速度变化规律

竖直方向速度变化率恒定：$ \Delta v_y = -gt $

水平方向速度不变：$ v_x = v_0 \cos\theta $

落地时速度大小：

 $ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$

其中 $ h $ 为总高度差

（3）最小发射速度问题

若要击中某点 $ (x, y) $，求最小初速度 $ v_0^{\min} $，则：

$v_0^{\min} = \sqrt{gx \tan\theta - gy}$

若目标点在包络线外，则无法到达

（4）斜面撞击角

若物体从斜面某点抛出并再次落在斜面上，撞击角 $ \alpha $ 与抛射角 $ \theta $ 满足：

$\tan\alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{v_0 \sin\theta - g t}{v_0 \cos\theta}$

且撞击角与抛射角之间存在对称关系。

运动学－曲线运动

1.圆周运动

（1）加速度分解

法向加速度（向心加速度）：  $a_n = \frac{v^2}{R}$

切向加速度：  $ a_\tau = \frac{dv}{dt}$

（2）匀变速圆周运动（角量描述）

角速度公式：   $ \omega = \omega_0 + \beta t$

转过的角度：   $\varphi = \omega_0 t + \frac{1}{2} \beta t^2$

角速度关系：  $  \omega^2 = \omega_0^2 + 2\beta\varphi$

（3）线量与角量的关系

$  v = R\omega$

$  a_\tau = R\beta$

$ a_n = R\omega^2$

（4）易错模型：半径为 $ r $ 的小圆盘在半径为 $ R $ 的固定大圆环内部纯滚动

圆盘的自转角 $ \varphi $ 与它相对于大圆环中心的转角 $ \theta $ 之间的关系式为：

$\varphi = \frac{R - r}{r} \theta$

注：千万不要写成标准错误答案：$R \theta = r \varphi$❌

2.任意曲线运动

 （1）加速度分解

法向加速度（曲率方向）：  

 $ a_n = \frac{v^2}{\rho}$

切向加速度：  

 $ a_\tau = \frac{dv}{dt}$

（2）曲率半径万能公式（笛卡尔坐标系下）

已知轨迹方程$y(x)$，则有：

$\rho = \frac{v^2}{a_n} = \frac{ds}{d\theta} = \frac{(1 + y'^2)^{3/2}}{|y''|}$

其中$ y' = \frac{dy}{dx},\ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} $

$ ds $：弧长微元。  

$ d\theta $：切线方向转角微元。

3.极坐标下的运动

设质点位置用极坐标 $ (r, \varphi) $ 表示：

（1）速度与加速度表达式

 速度：$ \vec{v} = \dot{r}\,\hat{r} + r\dot{\varphi}\,\hat{\varphi}$

 $ \dot{r} = \frac{dr}{dt},\ \dot{\varphi} = \frac{d\varphi}{dt} $

 加速度：$ \vec{a} = (\ddot{r} - r\dot{\varphi}^2)\,\hat{r} + (r\ddot{\varphi} + 2\dot{r}\dot{\varphi})\,\hat{\varphi}$

 注：第一项为径向加速度，包含离心项 $ -r\dot{\varphi}^2 $

 第二项为横向加速度，含科里奥利项 $ 2\dot{r}\dot{\varphi} $

（2）曲率半径的极坐标形式

$\gamma = \frac{(r^2 + r'^2)^{3/2}}{2r'^2 + r^2 - r r''}$

其中$ r = r(\varphi) $

$ r' = \frac{dr}{d\varphi},\ r'' = \frac{d^2r}{d\varphi^2} $

静力学－质心与平衡

1. 质心位置公式

$\vec{r}_c = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + \cdots + m_N\vec{r}_N}{m_1 + m_2 + \cdots + m_N}$

其中：

$m_i$：第 $i$ 个质点的质量  

$\vec{r}_i$：第 $i$ 个质点的位置矢量  

2. 帕普斯定理

$V = S \cdot l_c$

其中：$V$：旋转体的体积  

$S$：平面图形的面积  

$l_c$：该平面图形绕轴旋转一周所形成的轨迹长度（即质心走过的路径长度）  

应用场景：用于快速计算由平面图形绕某轴旋转生成的立体体积（如圆柱、圆锥、环面等）

3. 平衡稳定性的势能判据

$\frac{dU}{d\theta} = 0 \quad \text{表示平衡状态}$

$\frac{d^2U}{d\theta^2} > 0 \quad \text{表示稳定平衡}$

$\frac{d^2U}{d\theta^2} < 0 \quad \text{表示不稳定平衡}$

其中：$U$：系统的势能

$\theta$：描述系统构型的角度变量，也可以用位移$x$判定

4. 水桶转圈模型 ：水面曲面方程

$y = \frac{\omega^2}{2g}x^2$

其中：$y$：水面高度（相对于最低点）  

$x$：水平方向坐标  

$\omega$：水桶转动的角速度  

$g$：重力加速度  

推导依据：惯性离心力与重力平衡 → 等效重力场倾斜 → 液面趋于等势面

5. 滑轮绕绳模型 ： 张力随角度变化关系

$T = mg e^{\mu\theta}$

其中：$T$：绳子末端的张力  

$mg$：悬挂物体的重力（或施加的拉力）  

$\mu$：绳与滑轮之间的摩擦系数  

$\theta$：绳子包裹滑轮的夹角（单位：弧度）  

适用条件：理想滑轮、绳不可伸长、无滑动、仅考虑静摩擦  

 注意：若 $\theta$ 为总包角，则 $T_{\text{大}} = T_{\text{小}} e^{\mu\theta}$，其中 $T_{\text{大}}$ 是主动侧张力

静力学－杨氏模量－Pt1

1. 基本定义

(1) 正应力（Normal Stress）

$\sigma = \frac{F}{S}$

- $ \sigma $：正应力，单位为 Pa（N/m²）

- $ F $：作用在物体上的拉力或压力，单位 N

- $ S $：受力截面积，单位 m²

(2) 应变（Strain）

$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L}$

- $ \varepsilon $：线应变（相对伸长量），无量纲

- $ \Delta L $：长度变化量，单位 m

- $ L $：原始长度，单位 m

 (3) 杨氏模量（Young's Modulus）

$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{F / S}{\Delta L / L} = \frac{F L}{S \Delta L}$

- $ E $：杨氏模量，反映材料抵抗弹性形变的能力，单位 Pa

- 表示单位应变下产生的应力，是材料的固有属性

2. 梁的弯曲问题

(1) 弯曲时微元受力分析

设梁长 $ l $、宽 $ a $、厚 $ h $，中点挂重物 $ G $，则在距离中点 $ y $ 处：

$dF = -\frac{E a y}{R} dy$

- $ dF $：微元段的横向力

- $ R $：曲率半径

- $ y $：距中性层的距离

- $ E $：杨氏模量

- $ a $：宽度

(2) 总弯矩（Bending Moment）

$M = \int_{-h/2}^{h/2} \frac{E a y^2}{R} dy = \frac{E a h^3}{12 R}$

- $ M $：总弯矩，单位 N·m

- $ h $：梁的厚度

- $ R $：曲率半径

(3) 曲率与弯矩关系

$\frac{1}{\rho} = \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{6G}{E a h^3} \left( \frac{l}{2} - x \right)$

- $ \rho $：曲率半径

- $ y(x) $：梁的变形曲线

- $ x $：横坐标，以最低点为原点

 (4) 变形曲线方程（抛物线近似）

$y(x) = \frac{3G}{E a h^3} \left( \frac{l}{2} x - \frac{1}{2} x^2 \right)$

(5) 中点沉降量（最大下沉）

$y\left( \frac{l}{2} \right) = \frac{G l^3}{4 E a h^3}$

- 即中点处的竖直位移

(6) 曲率表达式

$\rho = \frac{1}{k} = \frac{d\theta}{ds}, \quad k = \frac{d^2 y}{dx^2}$

- $ k $：曲率，$ \rho $：曲率半径

静力学－杨氏模量Pt.2

3. 弹性能密度与弯曲能量

(1) 弹性能面密度（单位面积的弹性势能）

设长 $ l $、宽 $ a $、厚 $ w $，压缩应变为 $ \varepsilon $，则：

$\varepsilon_k = \frac{1}{2} E w \varepsilon^2$

- $ \varepsilon_k $：单位面积的弹性势能，单位 J/m²

- $ w $：厚度方向尺寸

(2) 弯曲曲率与弹性势能关系

若弯曲曲率为 $ \rho $，则：

$\varepsilon_c = \frac{E w^3}{24 \rho^2}$

- $ \varepsilon_c $：单位体积的弹性势能

4. 弹性柱的自重压缩

 (1) 自重导致的压缩长度

$h = \frac{\rho g l^2}{2 E}$

- $ h $：压缩量

- $ \rho $：材料密度

- $ g $：重力加速度

- $ l $：柱高

- $ E $：杨氏模量

(2) 应力分布（沿高度 $ y $）

$\sigma(y) = \rho g (y - l)$

- $ y $：从顶部向下测量的位置

- 当 $ y = l $（底部）时，应力最大

5. 横放梁的弯曲（横向载荷）

(1) 横向位移 $ V(x) $

设横放梁在重力作用下发生弯曲，$ y $ 方向位移为 $ V $，满足：

$K = \frac{d^2 V}{dx^2}$

- $ K $：曲率

- $ V $：竖直位移函数

 (2) 弯矩表达式

M = \frac{\pi E Y^4}{4} \frac{d^2 V}{dx^2}

- $ Y $：特征尺寸

(3) 弯曲微分方程（欧拉-伯努利梁方程）

$\frac{E I}{4} \frac{d^4 V}{dx^4} + P \frac{d^2 V}{dx^2} = 0$

- $ I $：截面惯性矩（$ I = \frac{a h^3}{12} $ 对于矩形截面）

- $ P $：施加的压力（如中点压力）

- $ V(x) $：位移函数

6. 失稳临界压力（欧拉屈曲）

(1) 欧拉屈曲方程

$q(x,t) - E I \frac{\partial^4 V}{\partial x^4} = \rho A \frac{\partial^2 V}{\partial t^2}$

- $ q(x,t) $：分布载荷

- $ \rho $：密度

- $ A $：横截面积

- $ V $：时间相关的位移

(2) 临界压力（失稳条件）

$P_0 = \frac{\pi^2 E I}{l^2}$

- $ P_0 $：临界压力（欧拉压杆失稳临界载荷）

- $ l $：杆长

- $ I $：截面惯性矩

7. 欧拉-伯努利梁方程

 (1) 静态平衡方程

$\frac{d^2}{dx^2} \left( E I \frac{d^2 V}{dx^2} \right) = q(x)$

- $ q(x) $：单位长度载荷

(2) 动态方程（振动）

$E I \frac{\partial^4 V}{\partial x^4} + \rho A \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} = q(x,t)$

动力学

1. 转动参考系中的动力学方程

动力学方程：

  $m\vec{a'} = \vec{F} - m\vec{\omega} \times \vec{r'} - 2m\vec{\omega} \times \vec{v'} - m\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r'})$

该式包含了三种惯性力项：

1. $\( -m\vec{\omega} \times \vec{r'} \)$：科里奥利力的“前驱”项（实际是向心力来源）

2. $\( -2m\vec{\omega} \times \vec{v'} \)$：科里奥利力

3. $\( -m\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r'}) \)$：惯性离心力

2. 向心力公式

向心力：

  $F = m\omega^2 r$

惯性离心力：

  $\vec{F}_{\text{离}} = m\omega^2 \hat{r} = m\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r'})$

4. 科里奥利力

  $\vec{F}_c = 2m\vec{v'} \times \vec{\omega}$

5. 斜面与滑块系统（桌面斜面模型）

考虑一个质量为 $\( m \)$ 的滑块放在质量为 $\( M \)$ 的斜面上，斜面置于光滑水平桌面上。系统可自由滑动。

（1）滑块加速度 $\( a_m \)$

滑块对斜面加速度：

  $a_m = \frac{mg\sin\theta\cos\theta}{M + m\sin^2\theta}$

滑块对地加速度：

  $a_m = \frac{g\sin\theta}{M + m\sin^2\theta} \cdot \sqrt{M + m(M + 2m)\sin^2\theta}$

斜面对地加速度：

  $a_M' = \frac{(m + M)\sin\theta}{M + m\sin^2\theta} g$

（2）滑块对斜面的作用力 $\( N \)$

法向作用力（滑块对斜面的压力）：

  $N = \frac{Mm\cos\theta g}{M + m\sin^2\theta}$

 （3）斜面对地的支持力 $\( N_1 \)$

地面支持力：

  $N_1 = \frac{M(M + m)g}{M + m\sin^2\theta}$

能量＆动量＆角动量－概述

一、动量

1. 动量定理

动量定理（微分形式）：$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$

动量定理（积分形式）：$\int_{t_0}^{t} \vec{F} dt = \vec{p} - \vec{p}_0$

2. 连续体与变质量运动

连续体平均力：$F_{\text{平均}} = \frac{m}{t} v^2$，其中单位长度质量：$\lambda = \frac{m}{l}$

不反弹情况：$F = \lambda v^2$

反向反弹（如喷气）：$F = 2\lambda v^2$

3. 变质量物体的运动（密舍尔斯基方程）

一般形式：$m \frac{dv}{dt} = (u - v)\frac{dm}{dt} + F$

其中：

$m$：当前质量

$v$：物体速度

$u$：脱离或加入物质的相对速度（相对于物体）

$F$：外力

当$u = 0$： $\frac{d(mv)}{dt} = F$

当$u = v$： $m \frac{dv}{dt} = F$

多处质量变化： $m \frac{dv}{dt} = \sum (u_i - v)\frac{dm_i}{dt} + F$

二、能量

1. 柯尼希定理

总动能：$E_k = E'_k + E_{kc}$

相对速度：$v'_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2}u, \quad v'_2 = -\frac{m_1}{m_1 + m_2}u$

动能表达式：$E_k = \frac{1}{2}M V_c^2 + \frac{1}{2}\mu u^2$

其中：

$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$：约化质量

$u$：两物体相对速度

2. 碰撞（含能量损失）

（1）弹性碰撞

碰后速度：  

  $v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}u_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}u_2$

  $v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}u_1 - \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}u_2$

（2）非弹性碰撞（恢复系数 $e$）

恢复系数定义：  $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$

碰后速度：  

$v_1 = u_1 - \frac{(1+e)m_2(u_1 - u_2)}{m_1 + m_2}$；$v_2 = u_2 + \frac{(1+e)m_1(v_1 - v_2)}{m_1 + m_2}$

能量损失：  

$\Delta E = \frac{1}{2}(1 - e^2)\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}(u_1 - u_2)^2$

（3）质心系分析

质心速度：  

 $V_c = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2}$

质心系中碰后速度：  

 $v'_1 = -e u'_1, \quad v'_2 = -e u'_2$

能量损失（质心系）：  

 $\Delta E = (1 - e^2)\cdot \frac{1}{2}(m_1 u_1'^2 + m_2 u_2'^2)$

三、角动量

1. 角动量定理

角动量定理（积分形式）：$\int_{t_1}^{t_2} M dt = L_2 - L_1$

角冲量等于角动量变化；角动量与力矩关系： $\tau = \frac{dL}{dt}, \quad \text{或} \quad \int \tau dt = \Delta L$

若是恒定力矩作用下，有$\tau t = I\Delta\omega$

天体力学

第一章.开普勒三大定律

开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。

开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。

开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的立方与它公转周期的平方的比值都相等。

对于开普勒三大定律的理解：

1.第一定律：从第一定律考虑，行星轨道上会出现近日点与远日点。

2.第二定律：行星在近日点的速率大于其在远日点的速率，从近日点向远日点移动过程中速率变小，反之变大。

3.第三定律：写成表达式的形式为$\frac{a^3}{T^2}=k$，a为椭圆轨道的半长轴，T为行星的公转周期，k为与太阳质量有关而与行星无关的常量。

由于行星运动的椭圆轨迹与圆相似，在近似的计算中，通常把行星看作以太阳为圆心做匀速圆周运动。在这种近似情况下，轨迹半径r代替了椭圆半长轴a，公式写为$\frac{r^3}{T^2}=k$

补充说明：开普勒第三定律也可以使用在绕行星运动的卫星，但常量k有所改变。