物理

【栖岸计划】物理竞赛常用二级结论＆公式汇总

运动学－抛体运动Pt.3

（好像有点太简单了）

（1）射程对称性

若两个抛射角 $ \theta_1 $ 和 $ \theta_2 $ 满足 $ \theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{2} $，则它们的射程相等。

推广：对于斜面，若 $ \theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{2} + \varphi $，则射程相等。

（2）速度变化规律

竖直方向速度变化率恒定：$ \Delta v_y = -gt $

水平方向速度不变：$ v_x = v_0 \cos\theta $

落地时速度大小：

 $ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$

其中 $ h $ 为总高度差

（3）最小发射速度问题

若要击中某点 $ (x, y) $，求最小初速度 $ v_0^{\min} $，则：

$v_0^{\min} = \sqrt{gx \tan\theta - gy}$

若目标点在包络线外，则无法到达

（4）斜面撞击角

若物体从斜面某点抛出并再次落在斜面上，撞击角 $ \alpha $ 与抛射角 $ \theta $ 满足：

$\tan\alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{v_0 \sin\theta - g t}{v_0 \cos\theta}$

且撞击角与抛射角之间存在对称关系。

运动学－曲线运动

1.圆周运动

（1）加速度分解

法向加速度（向心加速度）：  $a_n = \frac{v^2}{R}$

切向加速度：  $ a_\tau = \frac{dv}{dt}$

（2）匀变速圆周运动（角量描述）

角速度公式：   $ \omega = \omega_0 + \beta t$

转过的角度：   $\varphi = \omega_0 t + \frac{1}{2} \beta t^2$

角速度关系：  $  \omega^2 = \omega_0^2 + 2\beta\varphi$

（3）线量与角量的关系

$  v = R\omega$

$  a_\tau = R\beta$

$ a_n = R\omega^2$

（4）易错模型：半径为 $ r $ 的小圆盘在半径为 $ R $ 的固定大圆环内部纯滚动

圆盘的自转角 $ \varphi $ 与它相对于大圆环中心的转角 $ \theta $ 之间的关系式为：

$\varphi = \frac{R - r}{r} \theta$

注：千万不要写成标准错误答案：$R \theta = r \varphi$❌

2.任意曲线运动

 （1）加速度分解

法向加速度（曲率方向）：  

 $ a_n = \frac{v^2}{\rho}$

切向加速度：  

 $ a_\tau = \frac{dv}{dt}$

（2）曲率半径万能公式（笛卡尔坐标系下）

已知轨迹方程$y(x)$，则有：

$\rho = \frac{v^2}{a_n} = \frac{ds}{d\theta} = \frac{(1 + y'^2)^{3/2}}{|y''|}$

其中$ y' = \frac{dy}{dx},\ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} $

$ ds $：弧长微元。  

$ d\theta $：切线方向转角微元。

3.极坐标下的运动

设质点位置用极坐标 $ (r, \varphi) $ 表示：

（1）速度与加速度表达式

 速度：$ \vec{v} = \dot{r}\,\hat{r} + r\dot{\varphi}\,\hat{\varphi}$

 $ \dot{r} = \frac{dr}{dt},\ \dot{\varphi} = \frac{d\varphi}{dt} $

 加速度：$ \vec{a} = (\ddot{r} - r\dot{\varphi}^2)\,\hat{r} + (r\ddot{\varphi} + 2\dot{r}\dot{\varphi})\,\hat{\varphi}$

 注：第一项为径向加速度，包含离心项 $ -r\dot{\varphi}^2 $

 第二项为横向加速度，含科里奥利项 $ 2\dot{r}\dot{\varphi} $

（2）曲率半径的极坐标形式

$\gamma = \frac{(r^2 + r'^2)^{3/2}}{2r'^2 + r^2 - r r''}$

其中$ r = r(\varphi) $

$ r' = \frac{dr}{d\varphi},\ r'' = \frac{d^2r}{d\varphi^2} $

静力学－质心与平衡

1. 质心位置公式

$\vec{r}_c = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + \cdots + m_N\vec{r}_N}{m_1 + m_2 + \cdots + m_N}$

其中：

$m_i$：第 $i$ 个质点的质量  

$\vec{r}_i$：第 $i$ 个质点的位置矢量  

2. 帕普斯定理

$V = S \cdot l_c$

其中：$V$：旋转体的体积  

$S$：平面图形的面积  

$l_c$：该平面图形绕轴旋转一周所形成的轨迹长度（即质心走过的路径长度）  

应用场景：用于快速计算由平面图形绕某轴旋转生成的立体体积（如圆柱、圆锥、环面等）

3. 平衡稳定性的势能判据

$\frac{dU}{d\theta} = 0 \quad \text{表示平衡状态}$

$\frac{d^2U}{d\theta^2} > 0 \quad \text{表示稳定平衡}$

$\frac{d^2U}{d\theta^2} < 0 \quad \text{表示不稳定平衡}$

其中：$U$：系统的势能

$\theta$：描述系统构型的角度变量，也可以用位移$x$判定

4. 水桶转圈模型 ：水面曲面方程

$y = \frac{\omega^2}{2g}x^2$

其中：$y$：水面高度（相对于最低点）  

$x$：水平方向坐标  

$\omega$：水桶转动的角速度  

$g$：重力加速度  

推导依据：惯性离心力与重力平衡 → 等效重力场倾斜 → 液面趋于等势面

5. 滑轮绕绳模型 ： 张力随角度变化关系

$T = mg e^{\mu\theta}$

其中：$T$：绳子末端的张力  

$mg$：悬挂物体的重力（或施加的拉力）  

$\mu$：绳与滑轮之间的摩擦系数  

$\theta$：绳子包裹滑轮的夹角（单位：弧度）  

适用条件：理想滑轮、绳不可伸长、无滑动、仅考虑静摩擦  

 注意：若 $\theta$ 为总包角，则 $T_{\text{大}} = T_{\text{小}} e^{\mu\theta}$，其中 $T_{\text{大}}$ 是主动侧张力

静力学－杨氏模量－Pt1

1. 基本定义

(1) 正应力（Normal Stress）

$\sigma = \frac{F}{S}$

- $ \sigma $：正应力，单位为 Pa（N/m²）

- $ F $：作用在物体上的拉力或压力，单位 N

- $ S $：受力截面积，单位 m²

(2) 应变（Strain）

$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L}$

- $ \varepsilon $：线应变（相对伸长量），无量纲

- $ \Delta L $：长度变化量，单位 m

- $ L $：原始长度，单位 m

 (3) 杨氏模量（Young's Modulus）

$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{F / S}{\Delta L / L} = \frac{F L}{S \Delta L}$

- $ E $：杨氏模量，反映材料抵抗弹性形变的能力，单位 Pa

- 表示单位应变下产生的应力，是材料的固有属性

2. 梁的弯曲问题

(1) 弯曲时微元受力分析

设梁长 $ l $、宽 $ a $、厚 $ h $，中点挂重物 $ G $，则在距离中点 $ y $ 处：

$dF = -\frac{E a y}{R} dy$

- $ dF $：微元段的横向力

- $ R $：曲率半径

- $ y $：距中性层的距离

- $ E $：杨氏模量

- $ a $：宽度

(2) 总弯矩（Bending Moment）

$M = \int_{-h/2}^{h/2} \frac{E a y^2}{R} dy = \frac{E a h^3}{12 R}$

- $ M $：总弯矩，单位 N·m

- $ h $：梁的厚度

- $ R $：曲率半径

(3) 曲率与弯矩关系

$\frac{1}{\rho} = \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{6G}{E a h^3} \left( \frac{l}{2} - x \right)$

- $ \rho $：曲率半径

- $ y(x) $：梁的变形曲线

- $ x $：横坐标，以最低点为原点

 (4) 变形曲线方程（抛物线近似）

$y(x) = \frac{3G}{E a h^3} \left( \frac{l}{2} x - \frac{1}{2} x^2 \right)$

(5) 中点沉降量（最大下沉）

$y\left( \frac{l}{2} \right) = \frac{G l^3}{4 E a h^3}$

- 即中点处的竖直位移

(6) 曲率表达式

$\rho = \frac{1}{k} = \frac{d\theta}{ds}, \quad k = \frac{d^2 y}{dx^2}$

- $ k $：曲率，$ \rho $：曲率半径

静力学－杨氏模量Pt.2

3. 弹性能密度与弯曲能量

(1) 弹性能面密度（单位面积的弹性势能）

设长 $ l $、宽 $ a $、厚 $ w $，压缩应变为 $ \varepsilon $，则：

$\varepsilon_k = \frac{1}{2} E w \varepsilon^2$

- $ \varepsilon_k $：单位面积的弹性势能，单位 J/m²

- $ w $：厚度方向尺寸

(2) 弯曲曲率与弹性势能关系

若弯曲曲率为 $ \rho $，则：

$\varepsilon_c = \frac{E w^3}{24 \rho^2}$

- $ \varepsilon_c $：单位体积的弹性势能

4. 弹性柱的自重压缩

 (1) 自重导致的压缩长度

$h = \frac{\rho g l^2}{2 E}$

- $ h $：压缩量

- $ \rho $：材料密度

- $ g $：重力加速度

- $ l $：柱高

- $ E $：杨氏模量

(2) 应力分布（沿高度 $ y $）

$\sigma(y) = \rho g (y - l)$

- $ y $：从顶部向下测量的位置

- 当 $ y = l $（底部）时，应力最大

5. 横放梁的弯曲（横向载荷）

(1) 横向位移 $ V(x) $

设横放梁在重力作用下发生弯曲，$ y $ 方向位移为 $ V $，满足：

$K = \frac{d^2 V}{dx^2}$

- $ K $：曲率

- $ V $：竖直位移函数

 (2) 弯矩表达式

M = \frac{\pi E Y^4}{4} \frac{d^2 V}{dx^2}

- $ Y $：特征尺寸

(3) 弯曲微分方程（欧拉-伯努利梁方程）

$\frac{E I}{4} \frac{d^4 V}{dx^4} + P \frac{d^2 V}{dx^2} = 0$

- $ I $：截面惯性矩（$ I = \frac{a h^3}{12} $ 对于矩形截面）

- $ P $：施加的压力（如中点压力）

- $ V(x) $：位移函数

6. 失稳临界压力（欧拉屈曲）

(1) 欧拉屈曲方程

$q(x,t) - E I \frac{\partial^4 V}{\partial x^4} = \rho A \frac{\partial^2 V}{\partial t^2}$

- $ q(x,t) $：分布载荷

- $ \rho $：密度

- $ A $：横截面积

- $ V $：时间相关的位移

(2) 临界压力（失稳条件）

$P_0 = \frac{\pi^2 E I}{l^2}$

- $ P_0 $：临界压力（欧拉压杆失稳临界载荷）

- $ l $：杆长

- $ I $：截面惯性矩

7. 欧拉-伯努利梁方程

 (1) 静态平衡方程

$\frac{d^2}{dx^2} \left( E I \frac{d^2 V}{dx^2} \right) = q(x)$

- $ q(x) $：单位长度载荷

(2) 动态方程（振动）

$E I \frac{\partial^4 V}{\partial x^4} + \rho A \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} = q(x,t)$

动力学

1. 转动参考系中的动力学方程

动力学方程：

  $m\vec{a'} = \vec{F} - m\vec{\omega} \times \vec{r'} - 2m\vec{\omega} \times \vec{v'} - m\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r'})$

该式包含了三种惯性力项：

1. $\( -m\vec{\omega} \times \vec{r'} \)$：科里奥利力的“前驱”项（实际是向心力来源）

2. $\( -2m\vec{\omega} \times \vec{v'} \)$：科里奥利力

3. $\( -m\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r'}) \)$：惯性离心力

2. 向心力公式

向心力：

  $F = m\omega^2 r$

惯性离心力：

  $\vec{F}_{\text{离}} = m\omega^2 \hat{r} = m\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r'})$

4. 科里奥利力

  $\vec{F}_c = 2m\vec{v'} \times \vec{\omega}$

5. 斜面与滑块系统（桌面斜面模型）

考虑一个质量为 $\( m \)$ 的滑块放在质量为 $\( M \)$ 的斜面上，斜面置于光滑水平桌面上。系统可自由滑动。

（1）滑块加速度 $\( a_m \)$

滑块对斜面加速度：

  $a_m = \frac{mg\sin\theta\cos\theta}{M + m\sin^2\theta}$

滑块对地加速度：

  $a_m = \frac{g\sin\theta}{M + m\sin^2\theta} \cdot \sqrt{M + m(M + 2m)\sin^2\theta}$

斜面对地加速度：

  $a_M' = \frac{(m + M)\sin\theta}{M + m\sin^2\theta} g$

（2）滑块对斜面的作用力 $\( N \)$

法向作用力（滑块对斜面的压力）：

  $N = \frac{Mm\cos\theta g}{M + m\sin^2\theta}$

 （3）斜面对地的支持力 $\( N_1 \)$

地面支持力：

  $N_1 = \frac{M(M + m)g}{M + m\sin^2\theta}$

能量＆动量＆角动量－概述

一、动量

1. 动量定理

动量定理（微分形式）：$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$

动量定理（积分形式）：$\int_{t_0}^{t} \vec{F} dt = \vec{p} - \vec{p}_0$

2. 连续体与变质量运动

连续体平均力：$F_{\text{平均}} = \frac{m}{t} v^2$，其中单位长度质量：$\lambda = \frac{m}{l}$

不反弹情况：$F = \lambda v^2$

反向反弹（如喷气）：$F = 2\lambda v^2$

3. 变质量物体的运动（密舍尔斯基方程）

一般形式：$m \frac{dv}{dt} = (u - v)\frac{dm}{dt} + F$

其中：

$m$：当前质量

$v$：物体速度

$u$：脱离或加入物质的相对速度（相对于物体）

$F$：外力

当$u = 0$： $\frac{d(mv)}{dt} = F$

当$u = v$： $m \frac{dv}{dt} = F$

多处质量变化： $m \frac{dv}{dt} = \sum (u_i - v)\frac{dm_i}{dt} + F$

二、能量

1. 柯尼希定理

总动能：$E_k = E'_k + E_{kc}$

相对速度：$v'_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2}u, \quad v'_2 = -\frac{m_1}{m_1 + m_2}u$

动能表达式：$E_k = \frac{1}{2}M V_c^2 + \frac{1}{2}\mu u^2$

其中：

$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$：约化质量

$u$：两物体相对速度

2. 碰撞（含能量损失）

（1）弹性碰撞

碰后速度：  

  $v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}u_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}u_2$

  $v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}u_1 - \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}u_2$

（2）非弹性碰撞（恢复系数 $e$）

恢复系数定义：  $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$

碰后速度：  

$v_1 = u_1 - \frac{(1+e)m_2(u_1 - u_2)}{m_1 + m_2}$；$v_2 = u_2 + \frac{(1+e)m_1(v_1 - v_2)}{m_1 + m_2}$

能量损失：  

$\Delta E = \frac{1}{2}(1 - e^2)\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}(u_1 - u_2)^2$

（3）质心系分析

质心速度：  

 $V_c = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2}$

质心系中碰后速度：  

 $v'_1 = -e u'_1, \quad v'_2 = -e u'_2$

能量损失（质心系）：  

 $\Delta E = (1 - e^2)\cdot \frac{1}{2}(m_1 u_1'^2 + m_2 u_2'^2)$

三、角动量

1. 角动量定理

角动量定理（积分形式）：$\int_{t_1}^{t_2} M dt = L_2 - L_1$

角冲量等于角动量变化；角动量与力矩关系： $\tau = \frac{dL}{dt}, \quad \text{或} \quad \int \tau dt = \Delta L$

若是恒定力矩作用下，有$\tau t = I\Delta\omega$

能量＆动量＆角动量－天体运动Part1

1. 万有引力与动力学基础

万有引力定律：$F = G \frac{M m}{r^2} $

其中 G 为引力常量，M, m 为两物体质量，r 为质心间距。

动力学方程：

$L = m r^2 \dot{\theta} $

$E = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M m}{r} $

其中 L 为角动量，E 为机械能，$ \dot{\theta} $为角速度。

法向动力学方程与曲率半径：

$f_n = \frac{m v^2}{\rho} $

$\rho = \frac{r^2 v^2}{G M \cos \theta} $

其中 $f_n$ 为法向力，$ \rho $ 为轨道曲率半径，$ \theta $ 为速度与径向的夹角

2. 轨道速度公式

圆周运动速度：$ v = \sqrt{\frac{G M}{r}} $

脱离引力（逃逸速度）：$ v = \sqrt{\frac{2 G M}{r}} $

椭圆轨道任意一点速度：$v = \sqrt{2 G M \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{2a} \right)} $，其中 a 为半长轴。

特殊点速度：

近日点：$v_1 = \sqrt{\frac{G M}{a} \cdot \frac{a+c}{a-c}} $

远日点：$ v_2 = \sqrt{\frac{G M}{a} \cdot \frac{a-c}{a+c}} $

上顶点（短轴端点）：$v_3 = \sqrt{\frac{G M}{a}}$

逃出恒星引力：$v = (\sqrt{2} - 1) \sqrt{\frac{G M}{a_E}} $

此为从地球轨道出发脱离太阳引力场所需的最小额外速度增量相关表达。

3. 开普勒定律与天体参数

周期定律（开普勒第三定律）：$T^2 = \frac{4 \pi^2}{G M} a^3 $

重力加速度：

地表：$ g = \frac{G M}{R^2} $

距地高 h 处：$g' = \frac{G M}{(R+h)^2} $

其他星球表面：$ g'' = \frac{M'}{M} \left( \frac{R}{R'} \right)^2 g $

天体质量估算：

地球（黄金代换）：$ G M = g R^2 $

其他天体：$M = \frac{4 \pi^2 r^3}{G T^2} = \frac{v^2 r}{G} = \frac{v^3 T}{2 \pi G} $

天体密度：$ \rho = \frac{3 g}{4 \pi G R} = \frac{3 \pi}{G T^2} $（注：第二个公式适用于近地卫星，此时 $r \approx R $）

天体基本参量：$ v = \sqrt{\frac{G M}{r}}, \quad \omega = \sqrt{\frac{G M}{r^3}}, \quad T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}, \quad a_n = \frac{G M}{r^2} $

拉普拉斯-龙格-楞次矢量 (LRL Vector):$ \vec{B} = G M m \hat{r} - \vec{v} \times \vec{L} $，该矢量守恒，方向指向椭圆轨道的近地点。

4. 轨道能量与径向方程

轨道总能量：$E = - \frac{G M m}{2a} $

径向距离解（由能量与角动量方程反解）：$r = \frac{- G M m \pm \sqrt{(G M m)^2 + \frac{2 E L^2}{m}}}{2 E_0} $

能量＆动量＆角动量－天体运动－Part 2

 1. 椭圆轨道近远日点与能量关系

$对于绕中心天体运动的椭圆轨道，设半长轴为 a，半焦距为 c，偏心率 e=c/a。$

$几何关系：近日点距离 r_A = a - c = a(1-e)；远日点距离 r_B = a + c = a(1+e)$

$能量与角动量关系（基于活力公式与角动量守恒推导）：r_A + r_B = -\frac{GMm}{E} ；r_A \cdot r_B = -\frac{L^2}{2mE} $

$其中 E 为系统总机械能（负值），L 为角动量，m为环绕天体质量，M 为中心天体质量。$

2. 极坐标方程与轨道参数

$在极坐标系下，圆锥曲线轨道方程为： r = \frac{p}{1 + e \cos \theta} $

椭圆参数：半通径 $p = a(1-e^2)$，故 $a = \frac{p}{1-e^2}$。

能量表达式：$ E = -\frac{GMm}{2p}(1-e^2) $

角速度与有效势：

角动量定义 $L = m r^2 \dot{\theta}$，故角速度 $\dot{\theta} = \frac{L}{mr^2}$。

$有效势能（包含离心势）：V_{eff} = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2} $

偏心率与轨道类型判定： $e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{m(GMm)^2}}$。

$E < 0, e < 1$：椭圆

$E = 0, e = 1$：抛物线

$E > 0, e > 1$：双曲线

$半通径公式： p = \frac{L^2}{GMm^2} $

3. 地球内部隧道运动（模型）

假设地球为密度均匀的球体，物体在穿过地心的隧道中运动。

$回复力与加速度：a = -\frac{GM}{R^3} x $

其中 $R$ 为地球半径，$x$ 为距地心位移。该运动为简谐运动。

$运动周期： T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}} $

注：该周期与近地卫星环绕周期相同，约为 84 分钟。

4. 散射角（双曲线轨道）

天体散射：

   $能量 E = -\frac{GMm}{2p}(1-e^2)$ 

    $角动量 L = \sqrt{GMp} m$。

    $半实轴 a = \frac{GM}{v_0^2}$ （$v_0$ 为无穷远速度）。

    $散射角 $\theta$ 满足： \cot \frac{\theta}{2} = \frac{b v_0^2}{GM} $

    其中b为瞄准距离（碰撞参数，且非常不意外地为双曲线参数abc中的b）。

5. 椭圆轨道运动时间

对于椭圆轨道 $\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$，研究从 $x_1$ 运动到 $x_2$ 的时间。

$径向距离与速度：r = \frac{A^2 - cx}{A} ； v = \sqrt{\frac{GM(A^2+cx)}{A(A^2-cx)}} $

$时间微元：dt = \frac{dl}{v} = \frac{(A^2-cx)dx}{\sqrt{GMA(A^2-x^2)}} $

 从 $x_1$ 到 $x_2$ 用时：$\Delta t = \frac{1}{\sqrt{GMA}} \left[ A^2 \arcsin \frac{x}{A} + c\sqrt{A^2-x^2} \right]_{x_1}^{x_2} $

能量＆动量＆角动量－刚体力学－Part 1

 1. 刚体动能表达式

$质点系动能：E_k = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2 $

$定轴转动或平面平行运动动能**：E_k = \frac{1}{2} m v_c^2 + \frac{1}{2} I_c \omega^2 $

$其中 m 为刚体总质量，v_c 为质心速度，I_c 为过质心的转动惯量，\omega为角速度。$

2. 定轴转动动力学

$角动量：L = \sum m_i r_i v_i = \sum m_i r_i^2 \omega = I \omega $

$其中 r_i 为质点到转轴的垂直距离。$

$转动定律（力矩与角加速度关系）： M = \frac{dL}{dt} = I \frac{d\omega}{dt} = I \beta $

$其中 M为合外力矩，\beta为角加速度。注意：此式仅在转轴固定或过质心时严格成立。$

3. 转动惯量

$定义式：I = \sum m_i r_i^2 = \sum m_i (x_i^2 + y_i^2) $

$对于连续体，求和符号应改为积分 \int r^2 dm。$

常见物体的转动惯量（设质量为 $m$）：

$长方体（绕通过质心且垂直于边长 l_1, l_2的轴）：I_0 = \frac{1}{12} m (l_1^2 + l_2^2) $

$圆筒（绕中心轴，内外半径分别为 R_1, R_2）：I_0 = \frac{1}{2} m (R_1^2 + R_2^2) $

$球壳（内外半径分别为 R_1, R_2）： I_0 = \frac{2}{5} m \frac{R_1^5 - R_2^5}{R_1^3 - R_2^3} $

$注：若是薄球壳（R_1 \approx R_2 = R），则 I = \frac{2}{3} m R^2；若是实心球，则 I = \frac{2}{5} m R^2。$

$平行轴定理： I = I_c + M d^2 $

$其中 I_c为过质心的转动惯量，d 为两平行轴之间的距离，M为刚体总质量。$

$垂直轴定理（仅适用于薄板状刚体）： I_z = I_x + I_y $

$其中 z轴垂直于板面，x, y轴在板面内且互相垂直。$

方向余弦公式：

$若已知主轴转动惯量 I_1, I_2, I_3，则绕方向余弦为 (\cos\theta_1, \cos\theta_2, \cos\theta_3)的轴的转动惯量为：$

$ I_{\hat{n}} = I_1 \cos^2 \theta_1 + I_2 \cos^2 \theta_2 + I_3 \cos^2 \theta_3 $

$正多边形薄板（质量 m，外接圆半径 R，边数 n）：$

$实心 n 边形： I = \frac{1}{2} m R^2 \left( 1 - \frac{2}{3} \sin^2 \frac{\pi}{n} \right) $

$空心 n边形（框架）：I = \left( \frac{1}{12} + \frac{1}{4 \tan^2 \frac{\pi}{n}} \right) M R^2 $

4. 刚体纯滚动

$运动学约束：a_c = R \beta $

其中 $a_c$ 为质心线加速度，$R$ 为滚动半径，$\beta$ 为角加速度。此式成立条件是接触点无相对滑动。

$动力学方程：M = I \beta $

通常需联立牛顿第二定律 $F = m a_c$ 求解摩擦力或加速度。

5. 杆离心势能（非惯性系）

$在旋转参考系中，离心力对应的势能表达式：E_w = -\frac{m \omega^2}{2} \left( b^2 L + b L^2 \cos \theta + \frac{1}{3} L^3 \cos^2 \theta \right) $

$其中m为质量，L为杆长，b为杆较近一端与转轴的距离，\omega为角速度，\theta为杆与地面夹角$