【栖岸计划】物理竞赛常用二级结论...

物理
【栖岸计划】物理竞赛常用二级结论＆公式汇总

用户头像
 七叶草SG-1769 更新于2026-2-28 16:49:49

帖子正在调试ing

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$





🔝置顶：求feature几位物竞佬！！！有人愿意合作吗～


本帖实为一位物竞LZ复习公式的帖子（



📢声明：由于大部分公式都来自于不同的竞赛书籍＆题目＆机构笔记等，所以如果你在其他地方看到了内容相近的公式，不必感到惊讶

部分比较复杂的结论可能会直接从竞赛书上拍照



📢公告：

1.由于$LaTeX$系统改帖吞反斜杠的bug持续未修复，为节省手动添加的时间，会以发布评论的方式总结公式；

2.难度：从物竞一轮到二轮以上不等，但不会直接接触到四大力学。难度大体上在普物附近上下波动；

3.帖子所给公式大部分为二级结论或一些经典模型的结论，同时也会包括少量非常重要的一级结论或物理定律。帖子里会尽量选择有实用意义的公式发布，尽量避免一些概念性，常识性的，或者用处不大的公式（如转动惯量的积分表达式等）；

4.由于字数限制，大部分公式不会给出推导过程。一些模型或较为复杂的公式除外（比如从书上截图）。如果希望了解公式推导过程的话可以查阅相关普物＆竞赛书籍或机构课程等。亦可使用AI等“强力工具”作为辅助；

5.由于作者水平有限，难免会出现错误，遗漏等不足之处，欢迎大家指正，补充或提出建议；

6.本帖不适用于高考方面的拓展，因此不建议新手轮或刚开始接触一轮的同学食用。




关于评论区：

底线：无论是否喜欢二级结论，都不建议任何人在评论区发表负面观点，会严重影响他人的阅读感受。“不想看可以不看”

集思广益：如果大家有其他物竞二级结论或对公式的一些独特理解和看法，欢迎在评论区加以补充。

如果是自己手推的公式，建议确认无误后再发布（帖主有部分公式也是手推），以免造成误会和修改困难

禁止恶意嘲讽，贬低他人观点

纠错＆提议：如发现评论区公式有误或不全，欢迎在该楼层进行指正，帖主会核实并修改。如对帖子有改进建议等也欢迎在评论区发表自己的看法

禁止抬杠！！！否则叉出去（bushi），然后，你说的都对


闲聊请移步循水帖，不要在这里水评。禁止打着“物理公式”的旗号发表无关或娱乐性内容

禁止催更


目录：（正在建设中）








收起
10
5
共2条回复
时间正序
用户头像
七叶草SG-1769
10小时前
运动学－抛体运动Pt.1

（先来点简单的）
（调个代码累死我了）

（1）分量方程（平面内）

速度分量：
$v_x = v_0 \cos\theta$
$v_y = v_0 \sin\theta - gt$

位移分量：
  $x = (v_0 \cos\theta) t$
  $y = (v_0 \sin\theta)t - \frac{1}{2}gt^2$

（2）斜面情况下的分量方程

设斜面倾角为 $ \varphi $，抛出角度为 $ \theta $，则：

速度分量：
  $v_x = v_0 \cos\theta \pm g \sin\varphi \cdot t$
  $v_y = v_0 \sin\theta - g \cos\varphi \cdot t$
  
  注：正负号取决于斜面方向（上抛取“+”，下抛取“−”）

位移分量：
  $x = (v_0 \cos\theta)t \pm \frac{1}{2}(g \sin\varphi)t^2$
  $y = (v_0 \sin\theta)t - \frac{1}{2}(g \cos\varphi)t^2$

（3）射程 $ S $

① 平面上斜抛（落回同一水平面）
$S = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$
最大射程对应 $ \theta_m = \frac{\pi}{4} $，此时：
$S_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{g}$


② 斜面上上抛（从斜面某点以 $ \theta $ 角抛出，落在同一直线上）
$S = \frac{2v_0^2 \cos(\theta + \varphi)\sin\theta}{g \cos^2\varphi}$
最优抛射角：
$\theta_m = \frac{\pi}{4} - \frac{\varphi}{2}$
最大射程：
$S_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{g(1 + \sin\varphi)}$

③ 斜面下抛（从高处斜向下抛至斜面）
$S = \frac{2v_0^2 \cos(\theta - \varphi)\sin\theta}{g \cos^2\varphi}$
最优抛射角：
$\theta_m = \frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2}$
最大射程：
$S_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{g(1 - \sin\varphi)}$

注：$ \varphi $ 是斜面倾角，必须小于 $ 90^\circ $。

（4）射高 $ H $（最大高度）

$H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}$

当 $ \theta = 90^\circ $ 时，$ H_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} $
用户头像
七叶草SG-1769
1小时前
运动学－抛体运动 Pt.2

（5）物体在两个相对的斜面上抛出，原路返回的条件

若物体从一倾角为$\theta$的斜面上某点抛出，和对面倾角为$\varphi$的斜面弹性碰撞后沿原路径返回，则满足：

$\cot\theta \cdot \cot\varphi = 2$

（6）理想抛体运动的轨道方程（轨迹曲线）

$y = x \tan\theta - \frac{g}{2v_0^2}(1 + \tan^2\theta)x^2$

或写成标准形式：

$y = x \tan\theta - \frac{g x^2}{2v_0^2 \cos^2\theta}$

 （7）必过定点 $ (x, y) $ 的抛射角

若要求抛体经过空间中某一点 $ (x, y) $，则满足：

$\tan\theta = \frac{v_0^2 \pm \sqrt{v_0^4 - g(gx^2 + 2gy v_0^2)}}{gx}$

或简化为：

$\tan\theta = \frac{v_0^2}{gx} \pm \sqrt{\left(\frac{v_0^2}{gx}\right)^2 - \left(\frac{2v_0^2}{gx}y + 1\right)}$

（8）包络线（所有可能轨迹的边界）方程

所有以相同初速度 $ v_0 $ 抛出的抛体轨迹的包络线为一条抛物线：

$y = -\frac{g}{2v_0^2}x^2 + \frac{v_0^2}{2g}$

（9）从高度 $ h $ 的平台处斜抛

初始位置在 $ y = h $，初速度仍为 $ v_0 $，抛射角 $ \theta $，则：

最大水平射程（落地点最远）：

 $L_{\text{max}} = \frac{v_0}{g} \sqrt{v_0^2 + 2gh}$

对应的最佳抛射角：

 $ \tan\theta = \frac{v_0}{\sqrt{v_0^2 + 2gh}}$

落地速度大小：

 $v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$

最大水平距离（当 $ \theta = 0^\circ $ 时）：

 $ x_{\text{max}} = \frac{v_0}{g} \sqrt{v_0^2 + 2gh}$

注：此处 $ x_{\text{max}} $ 实际是总飞行距离，不是射程。