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有兴趣证一下第一题吗帖子里的
用黎曼和吗
可以
什么方法都可以
为什么我觉得直接把这两个拆开就行了🤔🤔🤔
$f^{'}(e^x)=\lim_{{\Delta}x{\to}0}\frac{e^{x+{\Delta}x}-e^x}{{\Delta}x}=e^x\lim_{{\Delta}x{\to}0}\frac{e^{{\Delta}x}-1}{{\Delta}x}$
$=e^x$(等价无穷小)
对的
一开始我甚至用泰勒展开做了一遍😅
话说我一开始还想用洛必达来做呢♿♿♿后来发现这是循环论证♿(因为过程中要对e^x求导)
诚然最后那步是对的 但你一步写出来让我怀疑用的麦克劳林系列循环论证了
到那一步后还是应该从e的定义式出发写吧
你这样一问把我也搞宕机了😅♿不过我突然冒出来一个想法🤔
$先证明(lnx)^{'}=\frac{1}{x}$
$(lnx)^{'}=\lim_{{\Delta}x{\to}0}\frac{ln(x+{\Delta}x)-lnx}{{\Delta}x}=\lim_{{\Delta}x{\to}0}ln(1+\frac{{\Delta}x}{x})^{\frac{1}{{\Delta}x}}$
$=\frac{1}{x}\lim_{{\Delta}x{\to}0}ln(1+\frac{{\Delta}x}{x})^{\frac{x}{{\Delta}x}}=\frac{1}{x}lne=\frac{1}{x}$
再用换元求刚才的那个极限：令$e^{{\Delta}x}-1=t$,则
$\lim_{{\Delta}x{\to}0}\frac{e^{{\Delta}x}-1}{{\Delta}x}=\lim_{t{\to}0}\frac{t}{ln(t+1)}=\lim_{t{\to}0}\frac{1}{\frac{1}{t+1}}=1$