物理

Κέντρο ολοκλήρωσης 积分收容所 (第Ⅲ章 围道积分)

“实数域的积分您参观过了”

“接下来？”

“感受复数域与留数的洗礼吧！”

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先说说留数是什么以及留数定理是什么。

在复变函数中，如果一个函数 $ f(z) $ 在某点 $ z_0 $ 处有奇点（即不解析），但可以在该点附近展开成洛朗级数（Laurent Series），那么这个级数中 $ (z - z_0)^{-1} $ 项的系数，就叫做函数在 $ z_0 $ 处的留数。记作$\text{Res}(f, z_0)$   定义十分基础，那么读者，如何计算留数呢？当然是找到这个复变函数在复平面上的奇点。

此时奇点的计算分为了1阶奇点与n阶奇点。

1阶奇点：若 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处有一阶极点，且 $ f(z) = \frac{g(z)}{h(z)} $，其中 $ g(z_0) \neq 0 $，$ h(z_0) = 0 $，$ h'(z_0) \neq 0 $，则：

$\text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)$

n阶奇点：若 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处有 $ n $ 阶极点，则：

$\text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left[ (z - z_0)^n f(z) \right]$

式子虽然复杂，但计算方式只需套用即可。

接下来，改进入围道积分的领域了。

这是一个复变函数，在平面上，画一个封闭图形，围道求积分。

在复平面上，设 $ f(z) $ 是一个复变函数，$ C $ 是一条简单闭合曲线（即不自交的闭合路径），称为围道（contour）。那么沿这条围道的积分定义为：$\int_C f(z)\, dz$

此时的围道积分与奇点关系密切。如果一个围道积分没有奇点，那么积分值也为0

如果函数 $ f(z) $ 在某个单连通区域内处处解析（即没有奇点），那么对于该区域内任意闭合路径 $ C $，有：$\oint_C f(z)\, dz = 0$

这个被后人成为柯西积分定理。

留数为什么和围道积分在一起如此精彩呢？因为留数定理是解决大部分围道积分的办法。

留数定理

设 $ f(z) $ 在简单闭合曲线 $ C $ 内除有限个孤立奇点 $ z_1, z_2, \dots, z_n $ 外处处解析，则：

$ \oint_C f(z)\, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \text{Res}(f, z_k)$

也就是说：围道积分等于 $ 2\pi i $ 乘以所有内部奇点的留数之和。

好了，来看一个积分吧。

考虑积分$I = \oint_C \frac{1}{z^2 - 1}\, dz$

其中 $ C $ 是单位圆 $ |z| = 1 $

此时分母可以变为$ z^2 - 1 = (z-1)(z+1) $

故该复变函数有2个一阶奇点，为1或-1

分别带入留数公式计算

在 $ z = 1 $： $ \text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1) \cdot \frac{1}{(z-1)(z+1)} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} $

在 $ z = -1 $ ：$\text{Res}(f, -1) = \lim_{z \to -1} (z + 1) \cdot \frac{1}{(z-1)(z+1)} = \frac{1}{-1 - 1} = -\frac{1}{2} $