物理

熬夜无聊就开始胡思乱想

考虑复数幂递推与模三

设 $\theta = \arctan\sqrt{2}$，则 $\tan\theta = \sqrt{2}$，对应复数 $1 + i\sqrt{2}$ 的幅角为 $\theta$。  

若 $\theta$ 是 $\pi$ 的有理数倍，即存在正整数 $n$ 使得 $n\theta = k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$），则 $(1 + i\sqrt{2})^n$ 为实数。  

因此，只需证明对任意正整数 $n$，$(1 + i\sqrt{2})^n$ 均不为实数。

展开并mod3

或者证明

$a= \dfrac{1+i\sqrt{2}}{1-i\sqrt{2}}$，我们来证明 $a$ 不可能为单位根。

我感觉我的方法跟5汉想的有些相似了😅

设：$\theta = \arctan \sqrt{2}$

如果 $ \theta = \frac{p}{q} \pi $，那么 $ e^{i\theta} $ 是单位根。

用u代换$ e^{i\theta} $ ，然后套进tan θ里

整理并且取共轭。

后面证明$u^2$为单位根。

我也不知道对不对有错还请指出🙏

还有为什么会在物理里出现呢

设 $\theta = \arctan\sqrt{2}$，则 $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$，$\sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，于是

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta = \frac{1 + i\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.$

对任意正整数 $n$，

$e^{in\theta} = \frac{(1 + i\sqrt{2})^n}{(\sqrt{3})^n} = \frac{a_n + i b_n\sqrt{2}}{3^{n/2}},$

其中 $a_n, b_n$ 为整数（与法一定义相同）。其实部为

$\cos(n\theta) = \frac{a_n}{3^{n/2}}.$

若存在 $n$ 使得 $\cos(n\theta)=1$，则 $a_n = 3^{n/2}$。由于 $3^{n/2}$ 为整数仅当 $n$ 为偶数，设 $n=2k$，则 $a_{2k}=3^k$。

另一方面，由

$(1+i\sqrt{2})^n (1-i\sqrt{2})^n = (1+2)^n = 3^n$

得

$(a_n + i b_n\sqrt{2})(a_n - i b_n\sqrt{2}) = a_n^2 + 2b_n^2 = 3^n.$

代入 $n=2k$ 得

$a_{2k}^2 + 2b_{2k}^2 = 3^{2k} = (3^k)^2.$

若 $a_{2k}=3^k$，则上式化为 $3^{2k} + 2b_{2k}^2 = 3^{2k}$，从而 $b_{2k}=0$

但由法一中的递推与模 $3$ 分析可知，$b_n$ 恒满足 $b_n\equiv1\pmod{3}$（$n$ 奇数）或 $b_n\equiv2\pmod{3}$（$n$ 偶数），特别地 $b_n\neq0$。这与 $b_{2k}=0$ 矛盾。因此不存在这样的 $n$，即 $\cos(n\theta)\neq1$ 对所有正整数 $n$ 成立，故 $\theta$ 不是 $\pi$ 的有理数倍。

GPT: