优雅的好题

数学
优雅的好题

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 愚者 更新于2026-2-22 05:39:51
求最小的正实数$d$，使得对任意正整数$n$及满足$a_{i,0}=a_{i,n}=a_{0,j}=a_{n,j}=0(0~\leq~i,j~\leq~n)$的任意$(n+1)^2$个整数$a_{i,j}(0~\leq~i,j~\leq~n)$,都有
$\large{\sum_{i=1}^{n}~\sum_{j=0}^{n}|a_{i,j}-a_{i-1,j}|~+~\sum_{i=0}^{n}~\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}-a_{i,j-1}|~\geq~\left(\sum_{i=0}^{n}~\sum_{j=0}^{n}|a_{i,j}|^d~\right)^{1/d}}$
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愚者
1月前
这几天在成都角爷这培训，解答看时间
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Do you 明白？！
1月前
角爷是谁？
1条评论
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愚者
1月前

叶邦角

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愚者
1月前

现刊载一解答:

答案

2

构造

取$a_{i,j}-1(1\leq~i,j\leq~n-1)$,则

$$2(n-1)+2(n-1)~\geq~((n-1)^{2})^{\frac{1}{d}}$$.

令$n~\to~\infty$得,$d~\geq~2$. 

证明

对$1~\leq~i~\leq~n-1$,设$a_{i,1},\cdots,a_{i,n-1}$中绝对值的最大者为$x_{i}$;对$1~\leq~j~\leq~n-1$,设$a_{1,j},\cdots,a_{n-1,j}$中绝对值的最大者为$y_{j}$.则$a_{ij}^{2}~\leq~|x_{i}|~\cdot~|y_{j}|$,且由三角不等式,

$$\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}-a_{i,j-1}|~\geq~|x_{i}-a_{i,0}|+|a_{i,n}-x_{i}|=2|x_{i}|$$,

$$\sum_{i=1}^{n}|a_{i,j}-a_{i-1,j}|~\geq~|y_{i}-a_{0,j}|+|a_{n,j}-y_{j}|=2|y_{j}|$$.

这样，由均值不等式,

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=0}^{n}|a_{i,j}-a_{i-1,j}|+\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}-a_{i,j-1}|$$

$$\geq~2\sum_{i=1}^{n-1}|x_{i}|+2\sum_{j=1}^{n-1}|y_{j}|~\geq~4~\left(\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1}|x_{i}|~\cdot~|y_{j}|~\right)^{\frac{1}{2}}$$

$$\geq~4~\left(\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1}a_{ij}^{2}~\right)^{\frac{1}{2}}~\geq~\left(\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}|a_{i,j}|^{2}~\right)^{\frac{1}{2}}$$.