物理 『栖岸计划』稳定同伦论（预备篇）
温馨提示：本系列难度较大，更新偏慢，若看不懂请务必踏踏实实学习课内知识
稳定同伦论本质是研究拓扑空间在无限次悬垂（可以理解为拉伸维度）后保持不变的同伦性质
它将复杂的拓扑问题转化为可控的代数问题
本篇讲解只预备知识，核心概念看另一篇
1. 拓扑基础：空间、映射与同胚
核心概念：
拓扑空间：可以简单理解为允许连续变形的几何对象，我们不关心它的具体形状、距离，只关心哪些点是相邻的
🌰：直线、圆圈、球面、面包圈都是拓扑空间
连续映射：两个拓扑空间之间的映射$f:X\to Y$，如果满足“不撕裂、不粘连”（这里严格定义为：开集的原像都是开集），就叫连续映射
🌰：把橡皮筋拉长、弯曲，都是从橡皮筋到平面的连续映射
同胚：拓扑意义上的“完全相等”
如果存在双向连续的一一映射$f:X\to Y$和逆映射$f^{-1}:Y\to X$，就称X和Y同胚
经典的🌰：咖啡杯和面包圈同胚，球面和正方体表面同胚（典中典♿）
带基点的空间：同伦论中我们通常给空间固定一个特殊的点$x_0\in X$（叫做基点），所有映射都要求把基点映射到基点（保基点）
这就像给橡皮筋固定一个端点，方便我们描述绕圈的行为
2. 同伦与同伦等价：拓扑的连续变形
这是同伦论最基础的核心概念，这里我们先讲映射的同伦，再讲空间的同伦等价
（1）映射的同伦
可以这样通俗理解：两个映射$f,g:X\to Y$同伦，就是$f$可以通过连续的、不撕裂不粘连的变形，变成$g$
依旧给出严格定义
设$X,Y$是带基点的拓扑空间，$f,g:X\to Y$是保基点的连续映射，如果存在一个保基点的连续映射$H:X\times [0,1]\to Y$，满足：
对所有$x\in X$，$H(x,0)=f(x)$（初始是$f$）
对所有$x\in X$，$H(x,1)=g(x)$（终止是$g$）
对所有$t\in [0,1]$，$H(x_0,t)=y_0$（基点全程固定）
就称$f$和$g$同伦，记作$f\simeq g$，$H$叫连接$f$和$g$的同伦
🌰：把平面上的一个圆圈$X=S^1$缩成一个点$Y=\mathbb{R}^2$，就是包含映射$f:S^1\to\mathbb{R}^2$和常值映射$g:S^1\to\{0\}$之间的同伦。
（2）相对同伦
如果我们要求$X$的某个子集$A\subset X$在变形过程中全程固定，就得到相对同伦：
$H(a,t)=f(a)=g(a)$对所有$a\in A$，$t\in [0,1]$成立
这里是定义高维同伦群的关键
（3）同伦等价
通俗理解：两个空间$X$和$Y$同伦等价，就是它们可以通过连续变形、压缩、膨胀（不撕裂不粘连）互相转化，比同胚的条件更宽松
给出严格定义：如果存在保基点的连续映射$f:X\to Y$和$g:Y\to X$，满足：
$g\circ f \simeq \text{id}_X$（先$f$后$g$，和$X$上的恒等映射同伦）
$f\circ g \simeq \text{id}_Y$（先$g$后$f$，和$Y$上的恒等映射同伦）
就称$X$和$Y$同伦等价，$f,g$叫同伦等价映射
🌰：一个点和实心圆盘同伦等价（把圆盘缩成点），但它们不同胚（维度不同）；圆柱面和圆圈同伦等价（把圆柱面沿着轴线缩成圆圈）
3. 同伦群：拓扑空间的代数不变量
同伦群是用群论来刻画空间的洞的结构的不变量：同伦等价的空间，同伦群一定完全相同
（1）基本群（1维同伦群）$\pi_1(X,x_0)$
基本群就是空间里以基点为起点和终点的闭合环路，在连续变形下的等价类，乘法相当于是先绕第一个圈，再绕第二个圈
严格定义：$\pi_1(X,x_0)$的元素是保基点的映射$\gamma:S^1\to X$的同伦类（$S^1$即1维圆圈），群乘法是环路的拼接：
$(\gamma_1 * \gamma_2)(t) =\begin{cases} \gamma_1(2t), &t\in[0,1/2] \\ \gamma_2(2t-1),&t\in[1/2,1]\end{cases}$
🌰：平面$\mathbb{R}^2$的基本群是平凡群$\{0\}$：所有环路都能缩成点
平面挖去一个点$\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$的基本群是整数群$\mathbb{Z}$：每个元素对应绕洞的圈数，正数顺时针、负数逆时针
面包圈（环面）的基本群是$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$：两个生成元分别对应绕大圈和小圈的圈数
（2）高维同伦群$\pi_n(X,x_0）（n\geq2）$
$n$维同伦群就是空间里$n$维球面的映射的同伦类，相当于把1维的环路推广到高维的球面包裹
严格定义：$\pi_n(X,x_0)$的元素是保基点的映射$f:S^n\to X$的相对同伦类（$S^n$即$n$维球面，固定球面的基点到$x_0$，变形过程中基点固定）
群乘法是把两个$n$维球面的赤道粘起来，形成一个更大的$n$维球面，分别用两个映射去包裹
核心性质：
1. 对$n\geq2$，$\pi_n(X,x_0)$是交换群（阿贝尔群），这是高维同伦群和基本群的核心区别
2. 同伦等价的空间，所有同伦群都同构
3. 对$n$维球面$S^n$，$\pi_n(S^n)=\mathbb{Z}$：每个元素对应映射的度数，也就是球面被包裹的圈数，和1维环路的圈数完全对应
4. 对$i<n$，$\pi_i(S^n)=0$：低维球面到高维球面的所有映射，都能连续缩成一个点（高维球面没有低维的洞）
5.一个比较反直觉的经典结果：$\pi_3(S^2)=\mathbb{Z}$
3维球面到2维球面存在非平凡的映射（Hopf纤维化），说明高维球面的同伦群远非平凡，是稳定同伦论的研究起点
（3）Serre有限性定理
法国数学家Serre证明了：对$k\gt n$，$\pi_k(S^n)$都是有限群，除了当$n$是偶数且$k=2n-1$时，会多一个无限循环群$\mathbb{Z}$
这说明球面的高维同伦群几乎都是有限的，为后续的稳定化计算奠定了基础
4. $\text{CW}$复形：复杂空间的简易碎片
普通的拓扑空间可能非常病态（比如处处不连续的空间），而同伦论只关心好的空间——$\text{CW}$复形
它是用不同维度的胞腔（即圆盘）一步步粘起来的空间，相当于是个拼图
严格定义：
一个$\text{CW}$复形的构造是逐层进行的：
1. 0维骨架：离散的点集（0维胞腔）
2. $n$维骨架：把若干个$n$维胞腔（$n$维实心圆盘$D^n$），通过连续的边界映射$\partial D^n=S^{n-1}\to (n-1)$维骨架，粘到$n-1$维骨架上
3. 无限维$\text{CW}$复形是所有有限维骨架的并集，满足弱拓扑
经典🌰：
$n$维球面$S^n$的$\text{CW}$结构：1个0维胞腔（一个点） + 1个$n$维胞腔，把$D^n$的边界$S^{n-1}$整个粘到那个0维点上
环面的$\text{CW}$结构：1个0维胞腔 + 2个1维胞腔 + 1个2维胞腔
核心定理：Whitehead定理
对于两个连通的$\text{CW}$复形$X$和$Y$，如果映射$f:X\to Y$诱导了所有同伦群的同构$f_*:\pi_n(X)\to\pi_n(Y)$（对所有$n\geq0$），那么$f$一定是同伦等价
这个定理的意义在于：对于$\text{CW}$复形，同伦群完全决定了它的同伦等价类，这也是我们几乎只研究$\text{CW}$复形的原因
5. 悬垂与Freudenthal悬垂定理：稳定化的基石
这是从“不稳定同伦论”到“稳定同伦论”的关键一步，我们先讲悬垂操作，再讲核心的悬垂定理
（1）悬垂（Suspension）$\Sigma X$
悬垂就是把空间$X$上下拉伸，两端捏成点，形成一个双锥，把空间的维度提升1维
严格定义：对带基点的空间$X$，它的约化悬垂$\Sigma X$是$X$和单位区间$[0,1]$的乘积空间，做商拓扑：
$\Sigma X = (X\times [0,1]) / (X\times\{0\} \cup \{x_0\}\times [0,1] \cup X\times\{1\})$
也就是把$X$的上下两个端面、以及基点所在的竖线，全部捏成一个新的基点
更简洁的等价定义：悬垂就是$X$和1维球面$S^1$的smash积：$\Sigma X = S^1 \wedge X$，其中smash积$A\wedge B = (A\times B)/(A\times\{b_0\} \cup \{a_0\}\times B)$，就是把乘积空间的坐标轴捏成一个点
经典例子：
$\Sigma S^1 = S^2$：把圆圈上下捏成点，正好是2维球面
更一般地，$\Sigma S^n = S^{n+1}$：悬垂把$n$维球面变成$n+1$维球面，符合维度提升的直觉
（2）悬垂同态
悬垂不仅能作用在空间上，还能作用在映射上：对保基点的映射$f:S^n\to X$，它的悬垂$\Sigma f:\Sigma S^n=S^{n+1}\to \Sigma X$，定义为$\Sigma f = \text{id}_{S^1}\wedge f$，也就是把悬垂的每个切片都用$f$映射过去
这样，悬垂就给出了一个群同态：
$\Sigma: \pi_n(X) \to \pi_{n+1}(\Sigma X)$
这个就叫悬垂同态，它把X的n维同伦群，映射到$\Sigma X$的$n+1$维同伦群
（3）Freudenthal悬垂定理：稳定化的核心
这是稳定同伦论的奠基性定理，它告诉我们：当空间的连通性足够好时，悬垂同态在一定维度范围内是同构，再高的维度是满射
严格表述：设$X$是一个$k-$连通的带基点$\text{CW}$复形（也就是$\pi_i(X)=0$对所有$i\leq k$成立，比如$S^n$是$(n-1)-$连通的），那么悬垂同态：
$\Sigma: \pi_i(X) \to \pi_{i+1}(\Sigma X)$
当$i\leq 2k$时，是群同构
当$i=2k+1$时，是满射
应用于球面的同伦群稳定化
对于$n$维球面$S^n$，它是$(n-1)-$连通的，代入定理得$k=n-1$
此时，对固定的维度差$k$，考虑同伦群$\pi_{n+k}(S^n)$，悬垂同态给出了序列：
$\dots \to \pi_{n+k}(S^n) \xrightarrow{\Sigma} \pi_{n+k+1}(S^{n+1}) \xrightarrow{\Sigma} \pi_{n+k+2}(S^{n+2}) \to \dots$
根据定理，当$n+k \leq 2(n-1)$，也就是$n\geq k+2$时，这个序列里的所有映射都是同构
这意味对于固定的$k$，当$n$足够大$（n\geq k+2）$时，$\pi_{n+k}(S^n)$不再随$n$变化
这个固定不变的群，就是我们要研究的第$k$个稳定同伦群