物理

『栖岸计划』从有理数到p进数：一场非阿基米德之旅

本帖禁止开楼

本帖禁止开楼

让我们开启探索之旅吧！

$\huge{一、起点：有理数 \mathbb{Q}}$

我们学过有理数：形如 $ \frac{a}{b} $（其中 $ a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 $）的数。它们在实数轴上是稠密的，可以用来逼近任意实数。

但是，我们只有一种方式来看待**接近**吗？

在实数中，两个数“接近”意味着它们的差很小。这种“大小”由**绝对值**定义：$|x-y|$

这就是所谓的 **阿基米德范数**，它满足阿基米德性质：对任意正实数$x$，存在正整数$n$ 使得$n \ x$。

$\huge{二、p进估值}$现在，我想问一个问题：

如果一个数能被 $ p $ 整除很多次，那它是不是很小还是很大？

比如，当 $ p = 2 $时：

$ 4 = 2^2 $

$ 8 = 2^3 $

$ 16 = 2^4 $

尽管这些数在实数中越来越大，但在 $ p $进世界里，它们其实是越来越小的。

(默默拿出定义……秒开仙人！)

定义：$ p $-进估值 $ v_p(n) $

设 $ p $ 是素数，对任意非零整数 $ n $，定义：

$v_p(n) =\max\{k \in \mathbb{Z}_{\geq 0} \mid p^k \text{ 整除 } n\}$(这里就不用整除符号了因为两个|容易误解，希望各位佬给出改进策略)

特别地，若 $ x = 0 $，则定义 $ v_p(0) = +\infty $。

推广到有理数： \frac{a}{b} $：

$v_p\left(\frac{a}{b}\right) = v_p(a) - v_p(b)$

[拓]一些小小的性质：

1. $ v_p(xy) $$ = v_p(x) + v_p(y) $

2. $ v_p(x + y) $$ \geq \min(v_p(x), v_p(y)) $，当 $ v_p(x) \ne v_p(y) $等号成立

3. $ v_p(x)$$ \geq 0 $ 当且仅当 $ x \in \mathbb{Z}_p $（p进整数）

4. $ v_p(n!) = $$ \sum_{i=1}^\infty \left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor $

那么这是有同学会问了：驻波驻波，你的p进估值还是太吃$\sout{操作}$计算了，但还是用不上啊！

$\huge{三、p进绝对值}$