数学

[栖岸计划] 熟悉而又陌生的朋友——π

Lambert 证明方式重点应该是在（若x为有理数则tanx不为有理数）吧，帖主可以详细讲讲吗

你猜为什么证明过程是2.1.1而不是2.1😁😁

2.1.2就是这个

什么时候更

tan45=1呀

？不用角度，用弧度

二.1 Lambert的证法

二.1.1证明过程

他先证明了若$x$是非零有理数，则$\tan(x)$是无理数，然后再开始证明

假设$\pi $是有理数，即存在整数  $p, q $使得$ \pi = \frac{p}{q}$

那么$ \frac{\pi}{4} =\frac{p}{4q}$ 也是有理数。

但是，$\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$

而$ 1$ 是有理数(这很明显对吧)。

但这与Lambert先证明的定理矛盾

因此，我们的假设被推翻了，所以$\pi$不可能是有理数

总结：

Lambert的证明是构造了一个关于 $\tan(x)$的连分数展开式，并证明了对于任意非零有理数 $x，\tan(x)$的值不可能是有理数

但由于 $ \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ 是有理数，因此 $\frac{\pi}{4}$不可能是有理数，进而 $\pi $也不是有理数。

所以，$\pi$是无理数

2.1.2 Lambert提前证明的定理

在刚才的讲解中，我们知道Lambert提前证明了一个定理：若$x$是非零有理数，则$\tan(x)$是无理数，其实这才是主体部分。闲话少叙，接下来是证明过程：

设 $ x \in \mathbb{Q} \setminus \{0\} $，假设 $ \tan(x) = r \in \mathbb{Q} $。

令 $ s = \sin(x), c = \cos(x) $，则：

$\frac{s}{c} = r \Rightarrow s = rc$

又 $ s^2 + c^2 = 1 \Rightarrow r^2 c^2 + c^2 = 1 \Rightarrow c^2(1 + r^2) = 1 $

所以：

$c^2 = \frac{1}{1 + r^2} \Rightarrow c = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + r^2}}, \quad s = r c = \pm \frac{r}{\sqrt{1 + r^2}}$

由于 $ r \in \mathbb{Q} $，$ \sqrt{1 + r^2} $ 是代数数（$∵r \in \mathbb{Q}$，$∴1+r^2 \gt 0，可证$），所以 $ c $ 和 $ s $ 是代数数。

因此，$ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) $ 是代数数。

但前面说过，$ x \in \mathbb{Q} \setminus \{0\} $，所以 $ x $ 是非零代数数。

由 Lindemann-Weierstrass 定理(若 $ \alpha $ 是非零代数数，则 $ e^\alpha $是超越数)，$ e^{ix} $ 是超越数。

矛盾！

于是此定理得证

∵tan45=1∧45，1∈Q

∴∃x∈Q，tan x∈Q

整活还是来真的？弧度制还是角度制

Lindemann-Weistrass定理貌似是一个很强的结论，好像没有初等证明方法