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1. 有根烷烃树（根碳原子）
设：
• a_n：有根烷烃树（指定一个 C 为根）数目
• 根的度 ≤3（因为一条边连向“父节点”）
根下可以分出 1、2、3 条子链，每条子链也是一棵有根烷烃树。
用 Pólya 计数定理（对称群 S_1,S_2,S_3）：
a_n = \text{系数} \left[ x^{n-1} \right] \\ Z(S_3; a(x))
其中
Z(S_3) = \frac16 t_1^3 + \frac12 t_1t_2 + \frac13 t_3
代入生成函数：
a(x) = x \cdot \left( \frac16 a(x)^3 + \frac12 a(x)a(x^2) + \frac13 a(x^3) \right)
递推式（最核心公式）
展开成递推：
a_1 = 1
a_n = \sum_{\substack{i+j+k = n-1 \\ i\le j\le k}} \!\!\!\!\!\!\binom{m}{...}
= \frac16\sum_{i=1}^{n-1}a_i a_{n-1-i}
+ \frac12\sum_{\substack{2i\le n-1}}a_i a_{n-1-2i}
+ \frac13\sum_{\substack{3i\le n-1}}a_{n-1-3i}
更清晰的可计算递推：
a_n = \frac16\sum_{i=1}^{n-1} a_i a_{n-1-i}
+ \frac12\sum_{i=1}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor} a_i a_{n-1-2i}
+ \frac13\sum_{i=1}^{\lfloor (n-1)/3\rfloor} a_{n-1-3i}
这就是有根烷烃树的标准递推。
2. 无根烷烃树（真正同分异构体）
树只有两种中心：
1. 一个中心（奇半径树）
2. 两个相邻中心（偶半径树）
2.1 单中心树 U_1(n)
中心 C 度数 ≤4，连出 4 棵有根子树，用 S_4 对称计数：
U_1(n) = \left[x^{n-1}\right]
\left(
\frac1{24}a(x)^4
+\frac1{12}a(x)^2a(x^2)
+\frac16a(x^2)^2
+\frac14a(x)a(x^3)
+\frac13a(x^4)
\right)
2.2 双中心树 U_2(n)
两个相邻中心 C，中间一条边，两边各一棵有根树，大小之和 = n-2，且去重：
[
U_2(n) = \sum_{k=1}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor} a_k a_{n-2-k}
• \begin{cases}
\dbinom{a_m +1}{2}, & n-2=2m \
0, & \text{else}
\end{cases}
]
2.3 最终同分异构体总数
A(n) = U_1(n) + U_2(n)
我也有，只不过我的是国技院发的😋👍
？？？原谅我有点没看懂是什么意思
……我甚至第一眼还把技院两个字看错了
(默默扇了自己两巴掌)
哦(恍然大悟)
