物理

《对运动合成的一些讨论》

 知识铺垫：

我们讨论一种分运动在两个彼此垂直的坐标轴上的运动，不妨设质点在x轴上的分运动方程为

$x=f(t)$

同样地，设

$y=g(t)$

联立两方程，得

$\begin{cases}x=f(t)\\y=f(t)\end{cases}$

要得到x，y的关系式，则需消去t，由

$x=f(t) \Rightarrow t=f^{-1}(x)$

$y=g(t) \Rightarrow t=g^{-1}(y)$

结合以上两式有

$t=f^{-1}(x)=g^{-1}(y)$

故

$f^{-1}(x)=g^{-1}(y)$

此即所求x，y关系式

正文

我们讨论这样一种情形：质点在x轴和y轴上的投影均做匀加速直线运动。

记质点在y轴上的投影运动为A，质点在x轴上的投影运动为B。易知AB均为匀加速直线运动。

故设A的初速为$v_{A}$，加速度为$a_A$；设B的初速为$v_{B}$，加速度为$a_B$

则有

$\begin{cases}x=v_Bt+\frac{1}{2}a_Bt^2\\y=v_At+\frac{1}{2}a_At^2\end{cases}$

故

$\frac{x}{y}=\frac{v_Bt+\frac{1}{2}a_Bt^2}{v_At+\frac{1}{2}a_At^2}$

$=\frac{v_B+\frac{1}{2}a_Bt}{v_A+\frac{1}{2}a_At}=\frac{2v_B+a_Bt}{2v_A+a_At}$

$\Rightarrow 2v_Ax+a_Axt=2v_By+a_Byt$

$\Rightarrow \left(a_Ax-a_By\right) t=2v_By-2v_Ax$

$\Rightarrow t=\frac{2v_By-2v_Ax}{a_Ax-a_By}$

另一方面

$\begin{cases}v_Ax=v_Av_Bt+\frac{1}{2}v_Aa_Bt^2\\v_By=v_Av_Bt+\frac{1}{2}v_Ba_At^2\end{cases}$

$\Rightarrow v_Ax-\frac{1}{2}v_Aa_Bt^2=v_By-\frac{1}{2}v_Ba_At^2$

$\Rightarrow 2v_Ax-2v_By=\left(v_Aa_B-v_Ba_A\right)t^2$

$\Rightarrow t^2=\frac{2v_Ax-2v_By}{v_Aa_B-v_Ba_A}$

结合两式，有

${\left(\frac{2v_By-2v_Ax}{a_Ax-a_By}\right)}^2=\frac{2v_Ax-2v_By}{v_Aa_B-v_Ba_A}$

化开式子并简单化简就得到结果

${\left(a_Ax-a_By\right)}^2+2\left(v_Aa_B-v_Ba_A\right)\left(v_By-v_Ax\right)=0$

大家可以试着自己也推一推

最后，看看能不能画出这个函数的图像：

$\left(\frac{217}{8}+11\sqrt{6}\right)x^2-\left(33+12\sqrt{6}\right)|x|y+18y^2+90y-\left(45+30\sqrt{6}\right)|x|=0$

末尾声明：

本贴为纯学术贴，勿在评论区聊无关内容，勿抢沙发。

码字不易，不喜勿喷。

有错误请指正，核实后会及时更改，感谢！